四阶抛物问题的弱Galerkin有限元法
本文关键词：四阶抛物问题的弱Galerkin有限元法
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【摘要】：本文主要用弱Galerkin有限元法来研究一个四阶抛物方程初边值问题的数值计算方法.考虑如下四阶抛物方程的初边值问题：ut+△2u=f,x∈Ω, 0≤t≤t,(0.1) u=au/an=0,x∈aΩ,0≤t≤t(0.2) u(·,0)=Ψ,x∈Ω. (0.3)其中△是Laplace算子,Ω是Rd(d=2,3)中有界开区域且其边界aΩ是Lipschitz连续的.令H=L2(Ω)表示平方可积函数构成的空间,具有标准的内积(·,·)和范数‖·‖.我们也用Hm=Hm(Ω)表示标准的Sobolev空间且则方程(0.1)-(0.3)的变分形式为：求u∈L2(0,t;H02(Ω))使得u(0,·)=Ψ,且满足如下方程(ut,v)+(△u,△v)=(f,v),(?)v∈H02(Ω). (0.4)本文将用弱Galerkin有限元法(简记为WG)来求解方程(0.1)-(0.3).WG有限元法的基本思路是：构造弱函数空间W(Ω)近似H2空间,然后定义一个弱Laplace算子△w用来近似标准的Laplace算子△,再利用变分方程(0.4)和适当的稳定子s(.,.)建立求解方程(0.1)-(0.3)的数值计算方法.令Th表示区域Ω的一族正则三角剖分,T是其中任意的一个三角元,其直径为h7,令h=max{hT}.对任意给定的非负整数k≥2,用Pk(T)表示T上次数不超过k的多项式集合,用Rk(e)表示边界e(?)αT上次数不超过k的多项式集合,那么离散弱函数空间Wk(T)表示如下Wk(T)={{v0,vb,vg}:v0∈Pk(T),vb∈Pk(e),vgg∈[Pk-1(e)]d,e(?)aT}.从而得到弱有限元空间Vh如下Vh={{v0,vb,vg:{v0,vb,vg}|T∈Wk(T),(?)T∈Th}.用Vh0表Vh的子空间,其函数值在aΩ上为0,即Vh0={v={v0,vb,vg}∈Vh,vb|e=0,vg·n|e=0,e(?)aT ∩aΩ}.对Vh中任意的uh={u0,ub,ug}和v={v0,vb,vg},引进双线性形式如下其中·,·)αT表示在区域边界αT上的L2内积.离散弱Laplace算子记为△w,对(?)v∈Wk(T),定义△wv∈Pk(T)满足如下方程(△wv,φ)T=(v0,△φ)T-vb,%溅铡aT+vg·n,φaT,(?)φ∈Pk(T).同时记离散内积则方程(0.1)-(0.3)的半离散弱Galerkin有限元法为：寻找一个弱函数uh∈L∞(0,t;Vh)满足uh(0)=QhΨ使得(vh,t(t,·),v0)+(△wuh,Δwv)h+s(uh,v)=(f,v0),(?)v={v0,vb,vg}∈Vh0.(0.5)令K为时间步长,tn=nk,n=1,…,N,其中NK=t.用Un∈Vh表示u(tn)的近似.则求解方程(0.4)的向后欧拉格式的弱Galerkin法为：求Un∈Vh(n≥1),满足U0=QhΨ使得(aUn,v0)+(△wUn,△wv)+s(Un,v)=(f(tn),v0),(?)v∈Vh0. (0.6)K在本文中我们得到以下半离散和全离散弱Galerkin格式的误差估计.定理0.1.令uh={u0,ub,ug}为(0.5)满足初值条件uh(0)=QhΨ的弱Galerkin有限元的解.假设方程(0.1)-(0.3)的精确解满足u∈Hmax{k+1,4}(Ω)令eh=uh-Qhu为弱Galerkin近似解和真解“的L2投影之间的误差,则存在常数C使得||eh||2+(?)01|||eh(·,t|||2dτ≤||eh(·,0)||2+Ch2k-2((?)01(||u||k=12+h2δμ,2||u||42ds),(0.7)且4(?)01||eh,τ||2dτ+|||eh|||2 ≤2|||eh(0,·)|||2+Ch2k-2(||u||k+12+||u(0,·)||k+12+hδk,2(||u||42+||u(0,·)||42) (0.8) +(?)(""uτ||k+12+hδk,2||uτ||42)dτ+(?)0(||u||k+12+hδk,2||u42)dτ).定理0.2.令u∈Hmax{1+k,4}(Ω)和Un分别为方程(0.1)-(03)和(0.6)满足U0=Qhu(t0)的解ehn=Un-qhu(tn)为全离散的弱Galerkin近似解和真解u的L2投影之间的误差,则存在常数C,使得
【关键词】：四阶抛物方程 弱Galerkin有限元 弱函数空间 离散弱Laplace算子
【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.82
【目录】：
- 摘要4-8
- Abstract8-13
- 第一章 绪论13-20
- 1.1 边值问题的Galerkin法13-16
- 1.2 Galerkin方程解的存在唯一性和误差估计16-20
- 第二章 求抛物方程的弱Galerkin有限元法20-26
- 2.1 抛物方程的有限元法20-22
- 2.2 抛物方程的弱Galerkin有限元法22-26
- 第三章 四阶抛物问题的弱Galerkin有限元法26-39
- 3.1 引言26-27
- 3.2 弱Laplace算子和离散弱Laplace算子27-28
- 3.3 半离散和全离散弱Galerkin有限元法28-30
- 3.4 误差分析30-37
- 3.4.1 半离散弱Galerkin有限元法的误差分析30-35
- 3.4.2 全离散弱Galerkin有限元法的误差分析35-37
- 3.5 数值结果37-39
- 参考文献39-40
- 致谢40
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，本文编号：1088223
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