几类微分方程的振动性质

发布时间：2017-10-24 19:05

  本文关键词：几类微分方程的振动性质

  更多相关文章： 振动 偏微分方程 分数阶微分方程 时滞 脉冲

【摘要】：偏微分方程理论可以被应用在许多科学领域,例如生物学,物理学,化学,工程学,控制理论,人口增长模型和气候模型。在过去几年,带有偏差变元的偏微分方程的基础理论的研究得到了集中的发展。然而,对这类方程定性理论的研究尚处在初级阶段。其中中立型和时滞偏微分方程是本文主要研究的两类泛函微分方程。许多研究都是在假设变量状态和系统参数是连续变化的前提下进行讨论的。但是在自然界当中可以找到很多突发性的现象,例如地震和许多其他重大自然灾害。这种短时间扰动的现象,其所经历的时间相比于整个发展过程可以忽略不计。因此,很自然的可以假设这些扰动是瞬间的,也就是所谓的脉冲。在过去50年,常微分方程,泛函微分方程,中立型微分方程,偏微分方程和脉冲微分方程的振动理论吸引了许多学者进行研究。振动理论是微分方程定性理论研究中重要的一个分支,在现实生活当中有着广泛的应用。最近几年,越来越多的学者把目光放在分数阶微分方程振动性的研究工作上。目前,分数阶微分方程的振动理论尚处在初期研究阶段,只有很少几位学者发表了几篇相关的学术文章。因此本论文在后面章节着重讨论了分数阶微分方程和分数阶偏微分方程的振动理论。本文第一章主要介绍了各类微分方程的背景知识,包括偏微分方程,泛函微分方程,脉冲微分方程以及分数阶微积分和微分方程,列举了关于这些研究方向的书籍。还介绍了偏微分方程和分数阶微分方程振动理论的背景知识及其研究成果。第二章研究了两类双曲型偏微分方程的振动性质。第一节研究了带有线性脉冲条件的非线性中立双曲型偏微分方程在Neumann边界条件下解的振动性质,并且建立了方程解振动的充分条件。证明主要思路是用反证法,证明方法是对方程在空间区域上积分,然后利用Green公式和线性化条件将方程转化为脉冲微分不等式,利用Riccati变换将二阶脉冲微分不等式简化为一阶脉冲微分不等式,最后利用引理中一阶脉冲微分不等式的性质推导出矛盾,从而证明了方程解振动的充分条件。第二节研究了带有非线性脉冲条件和多时滞量的非线性中立双曲型偏微分方程在两类边界条件(Dirichlet边界条件和Robin边界条件)下的振动性质。对此类方程的证明思路和证明方法和第一节类似,不同的是对于非线性脉冲条件的处理。本节对非线性脉冲添加了约束条件,利用此条件可以将非线性脉冲转化为线性脉冲条件,从而得到线性脉冲微分不等式,此后的证明方法与第一节中的方法类似。此外,在每一节的最后还进行了举例。第三章讨论了两类抛物型偏微分方程的振动性质。第一节研究了带有强迫振动项的非线性时滞脉冲抛物型偏微分方程的振动性质,分别讨论了该方程在三类边界条件下,即Dirichlet边界条件,非线性边界条件和Robin边界条件下的振动特性。证明思路运用反证法,证明方法是对方程在空间区域上进行积分,利用Green公式和线性化条件将方程转化为脉冲微分不等式。然后将脉冲微分不等式转化为不包含脉冲的微分不等式,再进行讨论。第二节讨论了一类带有连续偏差变元的非线性脉冲抛物型方程在三类边界条件下的振动特性。证明思路运用反证法,方法是利用积分平均法和Green公式将方程转化为还有连续偏差变元的脉冲微分不等式,再将其转化为离散偏差变元的脉冲微分不等式进行讨论。第四章主要研究了分数阶微分方程的振动性质。在第一节中,先介绍了分数阶微积分的概念。在本文中所用的分数阶积分和导数的定义均是Riemann-Liouville定义。同时还介绍了Riemann-Liouville定义下导数的一些基本性质并作为引理出现在此节。第二节主要讨论了一类带有阻尼项的分数阶常微分方程的强迫振动性质。证明思路是反证法,方法是利用分数阶微积分的性质直接推导出矛盾。这与以往文章判定分数阶微分方程解振动的方法不同,以往文章中均是将分数阶微分方程转化为整数阶常微分方程,然后对其进行讨论。另外,在本节最后叙述了时滞项对方程解振动的影响。第三节中研究了一类非线性分数阶偏微分方程在三类边界条件下的强迫振动性质。证明思路是反证法,方法是运用积分平均法和Green公式将分数阶偏微分方程转化为分数阶常微分不等式,然后利用第二节中提到的分数阶微积分的性质完成证明。关于分数阶偏微分方程振动理论的文章只有极少几篇,因此本论文在此研究领域所做的工作是比较前沿的。第五章总结了本文所做的工作,创新点以及未来预期要做的研究工作。
【关键词】：振动 偏微分方程 分数阶微分方程 时滞 脉冲
【学位授予单位】：中国地质大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175
【目录】：

• 作者简介6-9
• 摘要9-11
• ABSTRACT11-15
• Chapter 1. Introduction15-19
• §1.1. Partial differential equations15
• §1.2. Functional differential equations15-16
• §1.3. Impulsive differential equations16
• §1.4. Fractional theory16-17
• §1.5. Oscillation thory17-19
• 1.5.1. Oscillation of PDEs18
• 1.5.2. Oscillation of FDEs18-19
• Chapter 2. Oscillation of hyperbolic equations19-31
• §2.1. Linear impulsive equation19-23
• 2.1.1. Main results20-22
• 2.1.2. Example22-23
• §2.2. Nonlinear impulsive equation23-31
• 2.2.1. Dirichlet boundary25-29
• 2.2.2. Robin boundary29-30
• 2.2.3. Examples30-31
• Chapter 3. Oscillation of parabolic equations31-46
• §3.1. Forced oscillation31-40
• 3.1.1. Dirichlet boundary33-37
• 3.1.2. Nonlinear boundary37-38
• 3.1.3. Robin boundary38-39
• 3.1.4. Examples39-40
• §3.2. Continuous distributed deviating arguments40-46
• 3.2.1. Dirichlet boundary42-44
• 3.2.2. Nonlinear boundary44-45
• 3.2.3. Robin boundary45-46
• Chapter 4. Forced oscillation of fractional equations46-55
• §4.1. Preliminaries and lemmas46-47
• §4.2. Fractional differential equations47-49
• 4.2.1. Main results47-48
• 4.2.2. Example48-49
• 4.2.3. Remark49
• §4.3. Fractional partial differential equations49-55
• 4.3.1. Dirichlet boundary50-51
• 4.3.2. Neumann boundary51-52
• 4.3.3. Robin boundary52-53
• 4.3.4. Examples53-55
• Chapter 5. Summary and outlook55-57
• §5.1. Summary55
• §5.2. Outlook55-57
• Acknowledgements57-58
• References58-62

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本文编号：1090096