生长曲线数学模型的一般形式及新的构建方法

  本文关键词：生长曲线数学模型的一般形式及新的构建方法，，由笔耕文化传播整理发布。

1　 引言

生长 ( S) 曲线法作为趋势外推法的一种重要方法 ,在描述及预测生物个体的生长发育及某 些技术 、 经济特性等领域中已得到广泛地应用 。常用的数学模型有 Pearl 模型 、 Ridenour 模型 及G ompertz 模型 。在数据的连续性 、 完整性与准确可靠性确定的前提下 ,如何选用数学模型才 能得到较好的预测结果 ? 虽然是模型研究的

重要问题 ,却很少有人研究 。通常 ,人们往往是在 求出两个或两个以上模型的参数以后 ,比较其相关系数来确定适用的模型 。由于采用不同的 模型 ,计算其参数的方法也不同 ,因此 ,确定适用的模型 ,要进行大量的计算 。这无疑给使用者 带来很多不便 。为寻求较简洁的方法 ,本文从研究上述模型的性质出发 ,概括了它们所具有的 基本数学特征 ,提出了生长 ( S) 曲线法中数学模型的一般形式 。利用此模型的一般形式 ,可以 构造具有不同变化趋势的生长曲线模型 ,以更好地适应实际问题的要求 。作为例子 ,给出了一 个新的生长曲线模型 ,它和 Pearl 、ompertz 模型一起构成生长曲线的三种基本变化趋势 。并在 G 模型一般形式的基础上 ,建立一种构建生长曲线模型的新方法 。

2　 生长曲线模型的一般形式

) 作者简介 : 赵宜宾 (1976 — ,男 ,讲师 ,从事数学教学与研究

收稿日期 : 2003 年 6 月 2 日

3 校教 ( 科) 研基金资助项目

第5卷 第3期 防灾技术高等专科学校学报 Vol15 № 3 1 　　　　 　 　　　　 　 2003 年 9 月 J 1of College of Disaster - prevention Technique Sep 12003
摘　 　 要 本文在讨论生长 (S) 曲线法主要数学模型的基础上 , 建立了生长曲线模型的一般形式 , 它为建
立新的生长线模型提供线索 。作为例子 ,文中给出了一个新的生长曲线模型 。此外 , 给出了构建生长曲 线模型的一种新方法 ,它比传统的方法有更高的相关系数且计算简单 。

关键词 　 生长曲线 　 数学模型 　 拟合 　 相对水平函数

中图分类号 : O29 　　　 文献标识码 : A 　　　 文章编号 : 1008 - 7869 (2003) 03 - 0011 - 06

生长 ( S) 曲线法中的主要数学模型有 Pearl 模型 、 Ridenour 模型和 G ompertz 模型[1 ] 。 Pearl 模型为
y = k

生长曲线数学模型的一般形式 及新的构建方法 3
赵宜宾 　 胡顺田 　 赵永安
( 防灾技术高等专科学校 　 河北三河 　 065201) 1 + be at

,a > 0

　　　 　　　　　　　　　　 防灾技术高等专科学校学报 　　　　　　　　　　 　 5 卷 第 12 　　 Ridenour 模型为
k k 1 + ( - 1) e N0

N =

,a > 0
at

G ompertz 模型为
y = ka
bt

不难看出 ,Pearl 模型和 Ridenour 模型满足的是同一个微分方程 :
1 dy
y dt y ) k

= a (1 -

( 1)

而G ompertz 模型满足的微分方程为 :
1 dy
y dt

= ln b[ ln ( y/ k ) ]

( 2)

因此 ,Pearl 模型 、 Ridenour 模型和 G ompertz 模型只给出了两种基本变化趋势 。为寻求其更 多的变化趋势 ,以适应生长曲线变化的多样性 ,我们需要回头研究方程 ( 1) 和 ( 2) 的意义 ,以便 给出生长曲线模型的一般形式 。 1 dy 注意到 是我们所讨论的特性参数 y 在时刻 t 时的相对变化率 、 是 y 增长的极限值 、 k
y dt y 是此时特性参数达到的相对水平 、 ( 1 - y/ k ) 是其潜在发展的相对水平 , 则 ( 1) 表明 , Pearl 而 k

模型和 Ridenour 模型所反映的基本规律是 : 特性参数的相对变化率与其潜在发展的相对水平 成正比 ,比例系数是 a ; 而 ( 2) 表明 G ompertz 模型所反映的基本规律是 : 特性参数的相对变化 率与此时其达到相对水平的对数成正比 , 比例系数是 ln b 。从而不难看出 , 它们的共同规律 是 : 特性参数的相对变化率是其相对水平的函数 ,即生产曲线模型的一般形式可表示为 :
1 dy
y dt

= f ( y/ k )

( 3)

y 这里 f ( y/ k ) 是 的任意函数 , 我们称它为特性参数的相对水平函数 。显然它具有 t →∞ , 时 k f ( y/ k ) → 的重要特征 。 0
2

适当地选取函数 f ( y/ k ) , 可建立新的生长曲线模型 , 以描述更多的变化趋势 。如取
f ( y/ k ) = a ( 1 y ) 则可得到一个新的模型 : k2

第 3 期 　　　　 　 赵宜宾等 : 生长曲线数学模型的一般形式及新的构建方法 　　　 　　 13
y = k ( 4)
t0 )

1 + (

k - 2 a( t2 - 1) e y0

2

选用函数 f ( y/ k ) 的其它形式 , 可以得到其它相应的生长曲线模型 , 而由 y 的一组时序数 据{ y i } , 借助于拟合 ( 3) 右端的函数 , 不难求得诸模型中的相应参数 , 这里不再细述 。顺便指 出 , 指数曲线模型是 ( 3) 中 f ( y/ k ) = 常数的情况 , 注意到 t →∞ , f ( y/ k ) → 是生长曲线模型 时 0 的基本特征 , 因此 , 指数曲线模型不属于生长曲线模型的范畴 。

3　 由拟合相对水平函数构建生长曲线模型

的方法
用 Mathematica 软件 [2 ] 可以绘出的 Pearl 模型和 G 2 om pertz 模型及模型 ( 4) 的图象 , 如图 1 ( 取 k = 10 , 在 Ridenour 模型及 ( 4) 中 , a = 0 . 5 , y0
k

2 5 , b = 0 . 15) 。由此可以看出 Pearl ( Ridenour) 模型 、ompertz 模型及模型 ( 4 ) 反映了生长曲线的 G 三种基本变化趋势 ,它们由方程 ( 3) 右端的相对水平函数确定 。因此 ,我们构建生长曲线模型

= 5 ,在 G ompertz 模型中 , a = 0 .

图1

可以从拟合该函数入手 。 311 　 拟合方程 ( 3) 右端的相对水平函数
yi

设特性参数 y 的一组时序观测值为 y1 , y2 , …yN ( N = 3 n) , 注意到

1 dy

y dt 　t = i

=

d (ln y ) dt

≈
t=i

1 [ ln y i + 1 - ln y i - 1 ] = z i 是方程 ( 3) 右端的近似 , 观察 { ( y i , z i ) } 的散点图 , 如果散点图呈直线 , 2

则宜采用 Pearl 模型 ,用 α( 1 - β ) 拟合 { z i } 的散点曲线 ; 如果散点图呈指数曲线 , 则宜采用 G ompertz 模型 ,用α( lnβ- ln y i ) 拟合{ z i }的散点曲线 ; 如果散点图呈抛物线 , 则宜采用模型 ( 4) , 用α( 1 y2 i

, 2 ) 拟合{ z i } 的散点曲线 。计算拟合曲线的相关系数进行确定 ,并计算待定参数αβ。 β 312 　 构建生长曲线模型 一般来说 ,以 311 拟合得到的相对水平函数代入方程 ( 3) 的右端 , 求解该方程并适当的选 取初始值 ,即可得到所求的生长曲线模型 。如果考虑到不熟悉微分方程人们的使用方便 ,我们

给出三种基本变化趋势生长曲线的有限形式 。Pearl 模型的有限形式为 : β

y =

1 + (

β
y0

( 5)

- 1) e

- a ( t - t0 )

G ompertz 模型的有限形式为 :

　　　 　　　　　　　　　　 防灾技术高等专科学校学报 　　　　　　　　　　 　 5 卷 第 14
y =β y0
a ( t - t0 )

β

( 6)

模型 ( 4) 中的参数也用拟合曲线的参数 α,β代替 ,即表示为 : β
1 +

y =

β

2 2

( 7)
- 2 a ( t - t 0)

y0

- 1 e

则适当地选取初始值 ,将其和拟合曲线参数 α,β, 代入相应的 ( 5) , ( 6) 或 ( 7) 式中 , 就可以得到 所需要的生长曲线 。通常上述三种基本变化趋势的生长曲线 ,基本可以满足各种实际问题的 需要 。 为叙述方便起见 ,我们称这个方法为由拟合相对水平函数构建生长曲线模型的方法 ,简称 为拟合相对水平函数方法 。

4　 拟合相对水平函数方法的特点
411 　 数据处理形式单一 ,只需对观测值{ y i } 取对数 ,即可算出{ z i } 。而传统构建方法则要复杂

得多 。例如 Pearl 模型在已知最大值 k 的情况下 , 通常需对 需对 取两次对数 。
k yi

k - 1 取对数 , 而 G ompertz 模型则 yi

412 　 模型的选取有可遵循的原则 ,即可根据拟合函数 f ( y/ k ) 与{ z i } 的相关系数来选取相应的

模型 , 而这样选取的结果往往与观察{ z i } 散点图曲线的结果相一致 。 413 　 适当选取初始值 ,可进一步提高相关系数 。 利用初始值的选取提高拟合典线的相关系数是该方法的显著特点 ,而传统的方法除非重 新计算各参数则很难做到这一点 ,因为其模型中参数的确定与初始值有关 ,在建立了模型以后 就不能再改变其初始值 。 下面我们通过一个实例来说明该方法的应用 。 例 : 美国股市 1825～1978 年的市值增长曲线[3 ] 如图 2 ,{ ( y i , z i ) } 的散点如图 3 。
图2 图3

第 3 期 　　　　 　 赵宜宾等 : 生长曲线数学模型的一般形式及新的构建方法 　　　 　　 15 观察散点的分布 ,基本上呈抛物线形 ,故用 α( 1 计算表明 , 用 α( 1 yi
2 2 ) 拟合 {

y2 i
2 β

) 拟合 { z i } 可得较好的拟合曲线 。事实上 , yi

用传统方法 [3 ] 估算 Pearl 模型的三个参数 ln a = 8 . 450 , b = 0 . 069 , 其相关系数是 01902 。其相应的生 长曲线如图 6 。 为比较方便起见 , 我们用 α( 1 - β ) 拟合 { z i } 的散点曲线 , 可得到 :
y y ) = 0 . 204872 ( 1 ) , k 345217 yi f(

的相关系数为 01172343 , 即与观察结果相一致 。 用 α( 1 yi
2

将拟合曲线参数 α= 01197534 ,β= 268419 代入 ( 7) ,可得到 :
y =

取 t 0 = 1 , y0 = 19107 , 则相关系数为 0193507 , 这时其拟合生长曲线如图 4 。为了提高拟合精度 , 我们还可以通过对初始值 ( t 0 , y 0 ) 的选取 , 将拟合曲线向右平移 。例如取 t 0 = 10 , y 0 = 104190 , 则相关系数为 01935329 , 这时其拟合生长曲线如图 5 。
图4 图5 图6

) z i } , 其拟合函数与 { z i } 的相关系数为 0128736 ; 用 α( 1 β 拟合 β { z i } , 其拟合函数与{ z i } 的相关系数为 01262727 , 用 α( lnβ - ln y i ) 拟合 { z i } , 其拟合函数与 { z i }

β

2 ) 拟合{

z i } 的散点曲线可得到 :

f(

y y2 ) = 01197534 ( 1 ) , k 7120866 ×106

1 + (

268419
y0
2

2

268419

- 1) ×e

- 2 × 1197534 ( t - t0) 0

　　　 　　　　　　　　　　 防灾技术高等专科学校学报 　　　　　　　　　　 　 5 卷 第 16 将 α= 0 . 204872 ,β= 3452 . 7 代入 ( 5) ,可得
345217 345217 - y 0 - 01204872 ( t y0 e
参 考 文 献

y =

1 +

t 0)

those in the traditional method.

tinuation in the teaching of English pronunciation

取 t 0 = 1 , y0 = 19 . 07 , 则相关系数为 01923818 , 这时其拟合生长曲线如图 7 。从而也可以看出 , 即使用同样的相对水平函数 ,本文提出的方法也优于传统的方法 。 总之 ,本文提出的由拟合相对水平函数来构建生长曲线模型的方法较传统构建生长曲线 模型的方法有较高的相关系数且计算也比较简单 。
Abstract : In this paper we build the general form of the growing curve model which provides the clue of constructing structing the mathematioal model of growing carve which has higher correlation coefficient and simpler maniputation than Key words : growing curve 　 mathematical model 　 fitting 　 relative level function

一些较生动的课外活动 ,如朗读比赛 ,演讲比赛等 ,通过 “激励作用” 来鼓励学生努力改进并完 善自己的发音 。 41 强调语音课教学的连续性 。要使学生明确 : 要想使自己的英语真正像地道的英语 , 光 靠语音课有限的课堂教学时间是远远不够的 ,在语音课上所学到的正确的发音方法必须贯穿 始终 。也就是说 ,学生必须保证在开口讲英语时 ,即按照新的正确的 ,而不是旧的错误的发音 方式去发音 。做到课内课外相结合 ,充分利用课外时间 ,鼓励学生多听多讲 ,不怕犯错误 ,不怕 丢丑 ,下大力气改正不良的发音习惯 。 综上所述 ,通过我们不懈的努力 ,一定可以帮助我们的学生改进并完善他们的英语发音 , 使他们拥有听起来的地道 、 令人羡慕的英语 。
Abstract : Based on detailed analysis of the problems with the students’English pronunciation ,the article suggests some effective way to solve these problems.

new growing curve models ,and give a new mathematic model as an example. In addition ,we propose a new method for con2

( 上接第 28 页)

[1 ] 杨小凯主编 1 数理经济学基础 1 北京 : 国防工业出版社 ,1985 (6)

[2 ] 裘宗燕编 1Mathematica 数学软件系统的应用及其程序设计 1 北京 : 北京大学出版社 ,64～69 ,1994 [3 ] 王树强 1 股票市场规模增长模型的理论讨论 1 河北工业大学学报 , (28) 3 ,1999

Key words : Students’English pronunciation 　Standard Chinese pronunciation and English pronunciation 　The con2



  本文关键词：生长曲线数学模型的一般形式及新的构建方法，由笔耕文化传播整理发布。