带五次项的Ginzburg-Landau方程的差分近似

发布时间：2017-11-06 22:18

  本文关键词：带五次项的Ginzburg-Landau方程的差分近似

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【摘要】：本文主要研究带有五次项和一阶导数项的Ginzburg-Landau方程,对文中不同的问题构造了不同的差分格式,并证明了各格式的收敛性Ginzburg-Landau方程一类非常重要的非线性发展方程,具有丰富的物理背景和内涵,被广泛地运用在各个领域.由于这些方程的精确解难以给出具体的解析式,故研究数值解对于理解这些方程代表的实际意义具有相当重要的作用,而本文主要采用有限差分法对其构造差分格式,进行数值方面的研究,全文共分为四章.第一章绪论简单介绍了此文的研究背景和现状,对文中可能用到的一些基本记号和引理作了说明,最后简述了本文的研究工作第二章对带有五次项的Ginzburg-Landau方程的提出了线性化格式ut=α0u+α1uxx+α2|u|2u+α3|u|4u,(x,l)∈R×(0,T] u(x,0)=u0(x),x∈R u(x+1,l)=u(x,l),x∈R,l∈(0,T],其中αj=aj+ibj,α0=a0,且aj,bj是实常数.文中考虑当a1=Rc(α1)0Rc(α3)= a3时,对方程给出了两个线性化差分格式,同时运用数学归纳法证明了此两种格式关于L2范数的收敛性,最后通过数值结果从实际上验证了格式的收敛阶为O(τ2+h2).第三章继续研究上一章中提到的带有五次项的Ginzburg-Laudau方程的初边值问题,对该方程构造了高精度差分格式.在非线性方程的紧格式收敛性分析中,获得差分解在L∞意义下的先验估计是解决问题的关键.为了解决此难题,本文将格式的逐点形式转换成了向量形式,利用有关矩阵的知识获得了差分解的先验估计,从而理论上证明了差分格式的收敛阶为O(τ2+h4),最后通过给出数值结果验证了理论的有效性.第四章对于更一般的Ginzburg-Laudau方程ut=α0u+α1uxx+α2|u|2u+α3|u|2ux+α4u2ux+α5|u|4u,(x,t)∈R×(0,T] u(x,0)=u0(x),x∈R u(x+1,t)=u(x,t),x∈R,t∈(0,T],其中αj=aj+ibj,j=1,2,5,αj=aj,j=0,3,4,且aj,bj是实常数.本章主要考虑当a1=Re(α1)0Re(α5)=a5时,对该方程提出了差分格式.由于此格式多了函数关于空间的一阶导数,这使得证明格式的收敛性难度增大.文中通过对一阶导数构造合适的差分格式,紧接着获得差分解的无穷模估计,最后证明其格式关于L∞范数的收敛性,并且收敛阶为O(τ2+h2).
【学位授予单位】：华南理工大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.8

【参考文献】

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1 廖洪林;孙志忠;史汉生;;二维非线性Schr銉dinger方程显式格式的最大模误差分析[J];中国科学:数学;2010年09期

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本文编号：1149618