孤子方程的达布变换及精确解

发布时间：2017-11-09 19:11

  本文关键词：孤子方程的达布变换及精确解

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【摘要】：Darboux变换是非线性方程的谱问题的规范变换,是得到孤子方程解的非常有效的方法之一。利用Darboux变换可以得到孤子方程的1-孤子解、2-孤子解及多孤子解。在构造Darboux变换时选择合适的参数,从而减少求解时的运算量,得到很多有价值的解。再结合经典的孤子理论,将Darboux变换和非线性系统的Lax对联系起来,利用Crum定理可以直接地显示得到二次和三次Darboux变换等,(u,?)?(u?,??)?(u?,??),从一个孤子解得到n孤子解。求解Darboux变换的方法有很多种,具体到某个孤子方程,用哪种方法对此方程进行变换,这就要根据方程的具体形式来判定。对于具有高阶Lax矩阵的孤子方程的Darboux变换的研究还比较少,主要因为它的复杂性。在做此类方程的变换的过程中,需要多尝试几次。本文考虑三类重要的孤子方程:第一部分介绍了达布变换的基本理论并给出了最原始的达布变换,以此为基础构造三个非线性方程的达布变换。第二部分考虑柱kdv方程,首先由方程所满足的谱问题导出其Darboux变换,再利用常数变易法得到单孤子解。以已知解为种子,利用Darboux定理及Crum定理求出其双孤子解并推广到n孤子解。第三部分考虑孤子方程组Boussinesq-Burgers系统,首先由零曲率方程推导出此系统,再由系统所满足的谱问题,导出其Darboux变换,并给出此变换与两种基本达布变换之间的关系,进而以vu??0,1作为种子解,利用常数变易法得到单孤子解及双孤子解。第四部分考虑一个有关3×3矩阵谱问题的达布变换,首先由方程组所满足的谱问题,导出其Darboux变换,进而以p?0,q?0作为种子解,求出此孤子方程组的精确解。
【学位授予单位】：华侨大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175.29

【参考文献】

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本文编号：1163189