一类算子方程正解的多重性及其应用

发布时间：2018-01-02 23:46

  本文关键词：一类算子方程正解的多重性及其应用　出处：《山西大学》2015年硕士论文　论文类型：学位论文

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【摘要】：非线性问题通常产生于数学,物理等自然学科,能够很好地描述自然界中出现的各种现象,所以一直以来受到国内外科研工作者的广泛关注Kirchhoff型方程是一类重要的非线性微分方程,关于其解的存在性与多重性一直是学者们研究的热点.另外,非线性算子方程解的存在性和多重性也是非常有意义的课题.本文利用不动点指数理论讨论了一类具有齐次项的方程解的情况,并运用主要结果来考察一维Kirchhoff型方程解的情况,得到了其解的存在性与多重性结果.此外,本文还以Leggett-Williams三解定理为理论基础,研究了Kirchhoff型方程径向正解的多重性问题.在适当的条件下,得到了Kirchhoff型方程的两个径向正解.作为直接推论,也得到了椭圆方程的两个径向正解,并列举了一个可使椭圆方程有无穷多个径向正解的例子,且绘制了非线性项f的大致图像.除此之外,在证明的过程中,提出并证明了一个新的不等式.本文分为四章.第一章,绪论.第二章,预备知识.介绍一些基本概念与定理,在以后各章中都要用到.第三章,讨论如下具有齐次项的非线性算子方程正解的存在性与多重性,φ(u)u=λaAu+Bu+uo, (3.1.1)这里参数λ≥0,u0∈P是给定的元素,A：E→E是全连续正线性算子,B：P→P是全连续a-齐次算子,φ(u):a+b‖u‖β,其中α≥0,b≥0.利用不动点指数理论,对于算子方程(3.1.1)得到以下两个主要定理.定理3.2.2设α-γβ1,其中γ=sgn b我们假设A：E→E是正线性全连续算子,B：P→P是α-齐次全连续算子,且满足如果λa‖A‖a+(α-β-1)Mβ-1((b-β)/(M(α-1))(α-1/(α-β-1),其中M=supu∈P,‖u‖=1‖Bu‖0,那么对任意u0∈P且我们有当u0=0时,方程(3.1.1)至少存在一个正解；当u0≠0时,方程(3.1.1)至少存在两个正解.定理3.2.5设a0.设A：E→E是正线性全连续算子且A‖A‖1,B:P→P是α-齐次全连续算子而且满足(3.2.1).如果α-αβ1,或者α=β+1且0bμ,那么,对任意u0∈P且‖uo‖(α-1)M((α(1-λ‖A‖))/(αM)α/(α-1),其中M=supu∈P,‖u‖=1‖Bu‖0,我们有当u0=0时,方程(3.1.1)至少存在一个正解；当u0≠0时,方程(3.1.1)至少存在两个正解.作为应用,我们考察如下一维Kirchhoff型方程正解的存在性与多重性,其中常数α,b≥0满足α+b0,且f∈C(R+,R+),R+:=[0,∞)关于非线性项f.我们列出下列条件：(f1)存在以下极限(f2)f是单调递增函数,且存在c0使得当x∈[c,8c]时恒有f(x)≥kc4,这里3kc3=28a+216bc2.利用定理3.2.2,我们得到关于一维Kirchhoff型方程(3.1.4)解的多重性结果.定理3.3.5假设f满足(f1)与(f2),那么方程(3.1.4)至少存在两个正解.以上主要结果己发表,详见J.Math.Anal.Appl.422(2015)544-558第四章,研究如下Kirchhoff型方程径向正解的多重性,这里B1={x∈RN:|x|1},αB1={x∈RN:|x|=1},f∈C(R+,R+)及常数α0,b≥0.在Kirchhoff型方程(4.1.1)中取a=1,b=0,得到椭圆方程为了论证的简明性,我们先考察算子方程[a+bφ(x)]x=Ax, (4.1.3)正解的多重性,这里A：P→P是全连续算子,常数a0,b≥0.泛函φ：P→R+是连续的且满足φ(x)≤k(‖x‖),x∈P,其中κ：R+→R+是连续非减函数.通过运用Leggett-Williams三解定理,在适当的条件下我们得到关于方程(4.1.3)的新三解定理.定理4.2.1设a≥1.设A：P→P是全连续算子,且存在P上非负连续凹泛函α,满足α(x)≤‖x‖,x∈P.又设存在0d0a0c0满足(i)当x∈Pc0时恒有||Ax||≤ac0；(ii)当x∈Pd0。时恒有||Ax||ad0；(ⅲ){x∈P(α,a0,c0):α(x)a0)≠(?),且当x∈P(a,a0,c0)时恒有α(Ax)a0[a+ bk(c0)].那么,算子方程(4.1.3)在P_c0中至少有三个解x1,x2与x3,且满足‖x1‖d0,‖x2‖d0及α(x2)a0,a0a(x3).定理4.2.3设a0.设A：P→P是全连续算子,且存在P上非负连续凹泛函a,满足α(x)≤‖x‖,x∈P,及α(tx)=tα(x),x∈P,t∈R+又设存在0d0a0c0满足(i)当x∈Pc0时恒有‖Ax‖≤ac0；(ii)当x∈Pd0时恒有‖Ax‖ad0；(ⅲ){x∈P(α,a0,c0):α(x)a0)≠(?),当x ∈P(a,a0,c0)时恒有α(Ax)a0[a+ bk(c0)].那么,方程(4.1.3)在民中至少存在三个不动点x1,x2与x3,且满足‖x1‖d0,‖x2‖d0及α(x2)a0,a0α(x3).利用新三解定理4.2.3,对于维数N≠2与N=2分别建立了Kirchhoff型方程(4.1.1)与椭圆方程(4.1.2)径向正解的多重性定理.定理4.3.1设N≠2且a0.设存在0doa0c0满足a0(a+bNωNc02)≤σNac0,使得非线性项f满足(f1)当x∈[0,c0]时恒有f(x)≤Naco；(f2)当x∈[0,d0]时恒有f(x)Nad0；(f3)当x∈[a0,c0]时恒有f(x)≥a0(a+bNωNc02)/σ.那么,方程(4.1.1)至少有三个非负径向解,其中常数σ=(?)0εNG(εN,s)ds=1/N2(2/N)2/(N-2)=(εN/N)2/(N-2)=((εN)/N)2.定理4.3.4设N=2且α0.设存在0d0a0c0满足2eao(a+2πbc02)≤ac0,使得非线性项f满足(f1)当x∈[0,c0]时恒有f(x)≤2ac0；(f2)当x∈[0,d0]时恒有f(x)2ad0；(f3)当x∈[a0,co]时恒有f(x)≥4ea0(a+2πbc02).那么,方程(4.1.1)至少存在三个非负径向解.在定理4.3.1与定理4.3.4中取α=1,b=0,即可得到关于椭圆方程(4.1.2)径向正解的名重性结果
[Abstract]:Nonlinear problems often arise in mathematics, physics and other natural sciences, can well describe various phenomena, so it has been widely concerned by researchers at home and abroad Kirchhoff type equation is a class of nonlinear differential equations is important, about the existence and multiplicity of solutions has been the focus of the researchers. In addition, the existence and multiplicity is also very meaningful solutions of nonlinear operator equations. By using the fixed point index theory is studied for a class of homogeneous solutions of the equations, and the main results of one-dimensional Kirchhoff type equations, the existence and multiplicity of solutions for the. In addition, this paper also uses Leggett-Williams three solution theorem based on the theory of multiple problems of radial Kirchhoff equation solution. Under appropriate conditions, the Kirchhof f鍨嬫柟绋嬬殑涓や釜寰勫悜姝ｈВ.浣滀负鐩存帴鎺ㄨ��,涔熷緱鍒颁簡妞�鍦嗘柟绋嬬殑涓や釜寰勫悜姝ｈВ�

本文编号：1371469