低差分一致性函数与Bent函数的构造及其在编码中的应用

发布时间：2018-01-26 08:47

本文关键词： 低差分一致性函数 PN函数 APN函数差分4一致置换 Bent函数 Semi-bent函数完全置换多项式置换多项式线性码循环码重量分布　出处：《南京航空航天大学》2016年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：低差分一致性函数和Bent函数在密码学(分组密码和流密码设计)、编码理论(Reed-Muller码和二重码)、结合方案、序列设计、图论(强正则图)、组合设计等领域有着重要的应用.本文主要对置换多项式构造、差分4一致置换函数构造、APN函数构造、Bent函数构造和这两类函数在构造线性码中的应用等几个方面进行了研究.基于Dobbertin提出的方法,利用指数和的性质,研究了有限域F32m上的两类形如v-1x3m+2和v-1x2·3m+3完全置换单项式的构造.有趣的是,第二类完全置换多项式v-1x2·3m+3和Dickson多项式密切相关.基于万大庆教授的一个重要结果,我们构造了奇特征域Fp2m上的第S类完全置换多项式v-1xs(pm-1)+1.同时,我们确定了这三类完全置换多项式的复合逆,推广了Tu等人关于形如(xpm-x+δ)t(pm±1)+1 +L(x)置换多项式的构造,得到了几类具有新指数的这种置换多项式,新构造的置换多项式具有更灵活的参数t.基于交织技术,研究了偶特征域上差分4 一致置换函数和奇特征域上APN函数的构造.以现有的APN函数为基础,利用Gold型APN函数,得到了两类新的差分4一致分段函数;以现有的PN函数为基础,利用Gold型PN函数,构造了两类新的奇特征域上的APN函数.通过确定有限域上某些方程的解数,得到了奇特征域上两个低差分一致性置换函数.2015年,Mesnager利用布尔函数的差分函数,证明了某些Bent函数添加两个线性函数乘积仍然是Bent函数的结论.本文继续Mesnager的工作,以Walsh谱理论为主要工具,研究Bent函数添加多个线性函数乘积得到的新函数的性质,构造更多的Bent函数、Near-bent函数、Semi-bent函数等Plateaued函数.本文研究表明,通过在某些Bent函数添加两个线性函数这种方法不但可以得到新的Bent函数,而且可以获得新的Near-bent函数、Semi-bent函数等具有低Walsh谱的函数.建立了PN函数、APN函数和最优循环码的联系.我们利用PN函数和逆函数构造了参数为[pm-1,pm-2m-2,4]p元优循环码;根据e的奇偶性,确定了5元循环码码C(1,e)的最小距离是2或3.为了得到5元优的循环码,我们研究了码C(1,e)的一类子码C(0,1,e),利用F5m上的PN函数和APN函数以及其他的单项式函数构造了参数为[5m-1,5m-2m-2,4]5元优循环码.最后,论文研究了具有低Walsh谱函数在构造线性码中的应用.基于新构造的非二次不属于RF集合的p元Bent函数,构造了p元三重、四重线性码,并确定了三重线性码的重量分布.基于非二次函数的Walsh变换,通过分析Fp2的p-1阶分圆陪集的性质,确定Fp*中元素分别归属于Fp2*的哪一个分圆陪集,构造了一类P元二重码并给出了这类二重码的完全重量分布.
[Abstract]:In this paper , we have studied the structure of two kinds of permutation polynomials , such as v - 1x3m + 2 and v - 1x2 路 3m + 3 , which are based on the existing APN functions .

【学位授予单位】：南京航空航天大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：TN918.1;O174

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