门限整值自回归模型及相依风险模型的建模与推断

发布时间：2018-01-27 15:19

  本文关键词： 门限Poisson对数线性自回归模型 最大似然估计 渐近分布 经验似然 破产概率　出处：《吉林大学》2016年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：整数值时间序列数据在日常生活中应用广泛.这类数据的取值都是非负整数,不仅具有相依关系,通常还会呈现异方差性、非对称性等特点.因此,较传统的连续取值的时间序列,研究起来更加复杂.基于稀疏算子所建立的整数值时间序列模型,虽然在一些情况下可以对数据的背景做出合理的解释,但无法对数据的异方差性进行建模.经典的Poisson线性自回归模型,成功的解决了对数据的异方差性建模的问题.但这类模型却不能描述数据的非对称性.对同时具有异方差性和非对称性的计数数据,若延用现有模型,则不能很好的反应观测数据的客观规律.破产理论是风险理论的核心内容.经典的风险模型过于理想化,往往不能全面的反映各种影响因素之间的关系.事实上,保费和理赔之间往往具有某种相依结构.但现有的风险模型却忽略了这一点.因此,有必要对保费和理赔之间的这种相依关系进行研究.本文研究了两类整数值时间序列数据的建模及统计推断问题.主要内容分为三个部分：第一部分,我们针对具有异方差性和非对称性的整值计数数据,提出了一类门限Poisson对数线性自回归模型,同时研究了模型的平稳遍历性、给出了模型参数的最大似然估计及估计量的极限性质,并通过数值模拟验证了估计的效果.并用所提出的模型拟合了一组实际数据.第二部分,进一步讨论了门限Poisson对数线性自回归模型的经验似然推断,分别基于正态逼近法和经验似然方法给出了模型参数的置信域,通过数值模拟研究了两种置信域的覆盖精度.第三部分,我们提出了保费和理赔具有相依结构的风险模型,研究了模型的数字特征、矩母函数等性质,给出了破产概率的正态逼近.当理赔次数服从一个Poisson过程时,我们进一步提出了一个聚合风险模型,并利用鞅的理论给出了终极破产概率的上界.下面我们具体介绍本文的主要结果.1.门限Poisson对数线性自回归模型的建模.为了刻画整数值时间序列数据的异方差性和非对称性,我们提出一类门限Poisson对数线性自回归模型：定义1设{Xt,t∈Z}为一时间序列,假设Xt基于过去的信息的条件分布如下：这里vt=log λt,I1,t=I{Xt≤r},I2,t=1-I1,t=I{Xtr},r∈N且rr*∞,r*是己知的常数,Ft=σ{Xs,s≤t}是由{Xt,Xt-1,Xt-2,…}生成的σ域,θi=(di,ai,bi)T(i=1,2)为模型(1)的参数,θi≠θ2.该模型称为门限Poisson对数线性自回归模型,简记为TPLAR(1)模型.下面我们讨论TPLAR(1)模型的一些基本性质.设dt=d1I1,t+d2I2,t,at= a1,I1,t+a2I2,t,bt=b1I1,t+b2I2,t,ct=dt+btlog(Xt+1),则vt的平稳解有如下形式：我们约定,当k=1时上式中Ⅱ0j=1at-j=1,从而保证上式始终有意义.为研究TPLAR(1)模型的性质和参数估计问题,我们对参数空间做如下假设.(C1)设参数ai,bi,di满足：(C2)设D是R6中的紧集,θ=(θ1T,θ2T)T∈D为TPLAR(1)模型的待估参数,参数的真值为90.在下面的定理和推论中,我们分别给出了序列{vt,t0}和{(vt,Xt),t0}的平稳遍历性.定理1考虑由定义1所定义的TPLAR(1)模型.假设条件(C1)成立,那么Markov链{vt}是平稳遍历过程.推论1假设定理1中的条件成立,则Markov链{(vt,Xt)}是平稳遍历过程.设v1=log λ1和X1均已知,{Xt}tn1是基于初值X1和λ1由模型(1)生成的一个样本.并记{vt}vn2是基于某个初值v1迭代计算出的序列(vt=log(λt)),则我们可以写出模型的似然函数：对数似然函数：其中得分函数：解Sn(θ)=0,即可得到参数θ的最大似然估计,记为θ.对于r未知的情形,用l(r,θ)表示r未知时的对数似然函数,我们可以由以下两步来给出r和θ的估计：第1步对于每个rj∈[0,r*]∩N,用上文所述方法求9的最大似然估计θrj即：第2步把第1步所得的[r*]+1个估计结果{(rj,θrjT)T,j=0,1,…,[r*]),分别代入l(r,θ),并将使得l(r,θ)最大化的一组估计结果作为r和θ的最终估计,即：为了研究最大似然估计量θ的渐近性质,引入如下记号：记lt(θ)=xt·vt(θ)-exp{vt(θ)},其中vt(θ)是由平稳解(2)计算所得,l(θ)=∑tn=lt(θ),另记下面的定理给出了估计量的强相合性和渐近正态性.定理2设{Xt}vn=1是来自TPLAR(1)模型的一组样本,假设条件(C1)-(C2)成立,则最大似然估计量θ是强相合的.且θ有如下的渐近分布：其中G的相合估计由下式给出：另外,我们还通过数值模拟研究了最大似然估计的效果,并用所提出的模型进行了实证分析,效果比较好.2.门限Poisson对数线性自回归模型的经验似然推断.根据定理2可知,θ渐近服从均值向量为0,方差-协方差矩阵为G-1的正态分布N(0,G-1).从而,我们可以给出θ的正态逼近法置信区域如下：其中0δ1,χ62(δ)表示自由度为6的χ2分布的上δ-分位数.G是G的相合估计.下面,我们考虑TPLAR(1)模型的经验似然推断问题.基于Owen (1988)所提出的经验似然方法,设p=(p1,…,pn)T为权重向量,满足令则对数经验似然比函数可以表示为下面的定理给出了l(θ0)的极限分布.定理3假设条件(C1)-(C2)成立,则其中χ62表示自由度为6的χ2分布.根据定理3,对0δ1,参数θ的一个水平为100(1—δ)%的经验似然置信区域有如下的形式：其中χ62(δ)表示自由度为6的χ2分布的上δ-分位数.我们通过数值模拟研究了正态逼近法置信域和经验似然置信域的覆盖精度.结果表明,同等置信水平下,经验似然法所得的置信域有较高的覆盖精度.3.一类具有相依结构的破产概率模型在经典风险模型的基础上,我们综合考虑随机的保费收入以及保费收入与理赔额之间的相依结构,提出一个新的风险模型：其中Un表示某段时间内的总盈余,u表示保险公司的初始准备金,Xi,(i=1,2,…,n)是独立同分布的随机变量,随机变量h(Xi)依赖于Xi,Ii(i=1,2,…,n)是第i个投保人发生理赔的次数,n表示该时间段内的保单总量.引入如下的记号E(Xi)=μx,E(h(Xi))=μh,E(Xih(Xi))=μxh,Var(Xi)= σ2X,Var(h(Xi))=σh2则我们可以计算出Un的数学期望和方差分别为矩母函数为根据中心极限定理,我们可以对过程(3)的总盈余进行正态逼近：假设保单数量服从一个参数为λ的Poisson过程,则过程(3)可以拓展为一个聚合风险模型：其中u(u≥0)是保险公司的初始准备金,N(t)是参数为λ的Poisson过程,其含义为保单数量∑i=1N(t)Xi是截止到t时刻的保费收入,∑N(t)h(Xi)Ii是截止到t时刻所发生的理赔总额.从(4)可以看出,Poisson聚合风险模型中的理赔额和保费收入是具有相依结构的,它们同时依赖于一个Poisson过程{N(t)}.设S(t)=∑i=1N(t)Xi-∑i=1N(t)h(Xi)Ii表示截止到t时刻保险公司的累积收益.为了保证保险公司能够正常运转,我们总需要假设S(t)的数学期望为正数,即，，我们给出如下定义：定义2设E(Xi)=μx,E(h(Xi))=μh,q=JP(Ii=1),其中Ii服从Bernoulli分布.假设μx—qμh0,我们定义安全负载因子定义3设U(t)表示[0,t]上的总盈余.定义破产时间为定义4设U(t)表示[0,t]上的总盈余,T是破产时间.定义终极破产概率为设F(y)为Xi-h(Xi)Ii,i=1,2,3,的累积分布函数.假设Xi-h(Xi)Ii,i=1,2,3,….的二阶矩存在,则我们有如下结论成立：其中g(r)=λ(∫-∞+∞e-rydF(y)-1).下面,我们给出一些引理.引理1等式g(r)=λ(∫-∞ +∞e-rydF(y)-1)=0存在唯一的正解,我们称这个解为调节系数,记作R.引理2对于盈余过程{S(t),t0},记Fs={Fts,t≥0},则{Mu(t),Fts,t≥0}是一个鞅，其中引理3在前面的记号下,T是Fs的停时.定理4对于Poisson聚合风险模型fU(t),t≥0},终极破产概率满足如下的不等式,其中R是调节系数.定理5对于Poisson聚合风险模型{U(t),t≥0},其终极破产概率具有如下形式
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本文编号：1468776