几乎相等的素数的方幂之和

发布时间：2018-01-30 14:09

  本文关键词： Waring-Goldbach问题 圆法 几乎相等问题 均值定理 素变数指数和　出处：《山东大学》2016年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：Waring-Goldbach问题是堆垒数论研究中的经典问题.这一问题试图证明,当变量个数充分大时,满足局部同余条件的整数可以表示为素数的方幂之和.考虑一个自然数k和素数p,取τ=τ(k,p)为满足pτ|k而pτ+1+k的整数,并定义令R=R(k)=Πpγ,其中乘积取遍所有满足(p-1)|k的素数p.1938年,华罗庚[11,12]首先研究了这一问题的非线性形式,并证明了当s2k时,若n是充分大的满足局部同余条件n三s(mod R)的自然数,那么方程n=p1k+p2k+...+psk (1.1)有素数解pj.这里的同余条件是为了排除掉一些退化的解,在这些退化的解中,变量会被限制为k的素因子.几乎相等素变量的Waring-Goldbach问题是对华罗庚定理的一种深化,这一问题要求华罗庚定理中的变量“几乎相等”.具体的,取X=(n/s)1/k,我们试图找到满足条件|pj-X|≤Y的素数解,其中Y是相对于X非常小的实数.也就是说,我们希望所有的素变量pj在其均值X附近极小的范围Y中变动.显然,Y的取值越小,素变量pj的选取范围越小,问题的难度也就越大.我们可以通过以下两个事实来对Y的取值范围进行合理的猜想.一方面,1972年,Huxley [13]证明了关于小区间上素数分布的经典结果.定义π(X)为不大于X的素数个数.Huxley证明了,当Y≥X7/12+ε时,小区间上有如下的素数分布：如果我们假设广义黎曼猜想(GRH)成立,上述Y的取值范围可以改进为Y≥Xl/2+ε.Huxley的结果反映了小区间上的素数的分布情况,并在很多涉及素数的数论问题中成为一个合理的限制.另一方面,1937年,Wright [53]在关于几乎相等的整变量的Waring问题的研究中构造了一个反例,从而证明了在几乎相等的整变量的Waring问题中,相应的Y的取值范围的下界是Y=O(X1/2).另外,Deamen [6,7]在2010年证明了这一下界是可以取到的.因为Waring-Goldbach问题的解是Waring问题的解的子集,所以这一下界同样适用于相应的素变量问题.综合以上两点,我们可以合理的猜想Y的取值范围的下界是Y=O(X1/2).为了表述方便,我们引进如下定义.我们称指数△k,s是“容许的”,如果对所有满足△△k,s的指数△,以及充分大的满足n≡s (mod R)的正整数n,方程(1.1)都有满足|pj-X|≤X1-Δ(1≤j≤s)的素数解.根据以上的分析,我们有0≤△k,。≤1/2.当k≥2时,取整数tk为另取实数θk为本文的主要结果如下.定理1.1 设整数s和k分别满足k≥2和s2tk.另取x=(n/s)1/k,ε0是任意小的正常数.那么,对充分大的满足n≡s(mod R)的自然数n,方程n=p1k+p2k+…+psk有满足|pj-X|≤Xθk+ε(1≤j≤s)的素数解pj.这个定理指出,当k≥2且s2tk时,指数△k,s=1/6是容许的.与以往的结果相比,这个指数得到了大幅的改进,且是一个一致的结果,不再随着阶k的增大而递减.值得注意的是,当我们假设广义黎曼猜想(GRH)成立时,上述定理中二阶的结果可以改进为△2,s=1/4是容许的,而1/4=1/2×1/2.因此,我们可以认为,这个结果在一定程度上完成了目标的一半.另一方面,当k较大时,这个定理所需的变量个数要小于以往的结果·我们需要O(k2)个变量,而以往此类问题需要O(2k)个变量.事实上,当k≥5时,我们都可以减少所需的素数的个数.我们希望能够得到定理1.1关于更少变量的相似的结果,这涉及到Waring-Goldbach问题的例外集问题.当Y≥1时,我们用Ek,s(N;Y)表示满足以下条件的自然数n的个数：ⅰ.|n-N|≤kXk-1Y;ⅱ.n≡s(mod R)；iii.方程(1.1)没有满足|pj-(n/s)1/k|Y(1≤j≤s)的素数解pj.我们称指数△k,s*是“半容许的”,如果对任意正实数△*,当△*△k,s*时,存在ε0,使得Ek,s(N;Y)《xk-1-eεY.此时,对几乎所有充分大的满足n≡s(mod R)的正整数n,方程(1.1)都有满足|pj-X|≤X1-Δ*(1≤j≤s)的素数解.对此,我们有如下定理.定理1.2 设整数s和k分别满足k≥2和stk.另取X=(n/s)1/k,ε0是任意小的正常数.那么,对几乎所有的充分大的满足n≡s(mod R)的自然数n(特别地,当k=3且s=7时,还要同时满足9十n),方程n=p1k+p2k+…+psk有满足|pj-X|≤Xθk+ε(1≤j≤s)的素数解pj.注意,这里的额外条件“当k=3且s=7时9+n”,是为了保证方程(1.1)存在模9的局部解.这个结果同样大幅改进了以往的结果.事实上,我们证明了,当k≥4且s1/2k(k+1)时,指数△k,s*=1/6总是半容许的.证明定理1.1和1.2的方法也可以应用于其他问题.例如,我们可以用来改进定理1.2中蕴含的例外集的大小.本文中,我们以六个几乎相等的素数的平方和为例,证明一个相当强的例外集的估计.关于E2,6(N；Y),我们证明了如下定理.定理1.3 设Y≥X19/24+ε,其中ε是任意正实数.那么,存在δ0,使得E2,6(N;Y)Y-1X1-δ.本文的证明主要使用经典的Hardy-Littlewood方法.与以往的方法相比,本文有两个创新点.第一个是给出了一个小区间上素变数指数和的2s次均值估计.当s≥tk时,这一估计达到了理论上的最优估计.我们利用这一估计,来替代以往证明中所使用的华罗庚引理.在第三章中,我们将通过Daemen[6,7]的Binomial Descent方法证明这个均值定理.第二个创新点是一个新的小区间上素变数指数和的估计.利用这个结果,即使我们在Hardy-Littlewood方法中取较小的主区间,仍然可以在余区间上得到非平凡的估计.这个估计同样用到了Daemen的方法.证明同时还大量应用了最近关于Vinogradov均值定理的研究.
[Abstract]:The Waring - Goldbach problem is one of the classical problems in the study of the theory of accumulation . This problem attempts to prove that when the number of variables is sufficiently large , the integers satisfying the local congruence conditions can be represented as the sum of the square powers of prime numbers . In this paper , we try to find out the following two facts : Y = O ( X1 / 2 ) . In other words , when Y 鈮，

本文编号：1476424