时滞非线性系统的分支分析

发布时间：2018-02-24 16:07

本文关键词： 稳定性分支离散时滞分布时滞非线性系统多尺度时域频域　出处：《北京交通大学》2016年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：本文主要应用中心流形定理、规范型理论、多尺度方法、频域方法、扰动方法以及全局Hopf分支定理等理论和方法,针对几类具有实际意义的时滞非线性模型的分支问题进行了系统的研究,主要内容如下:1.研究了一类简单离散时滞模型x(n+1)=(1-α)x(n)+βx(n-τ)-x3(n-τ)的分支问题.通过分析形如λτ-(1-α))-β的特征多项式的根的分布,给出了不同时滞(τ = 1,2,3)下系统稳定的条件,并确定了时滞τ分别取2和3时特征多项式的一对复共轭特征根位于单位圆上(此时可能出现Hopf分支)的充要条件,揭示了系统中1:1强共振和1:2强共振等余维二分支存在的可能性.在此基础上,发现当参数α,β取特定值时,该模型及其线性系统具有等变结构.通过对一个简单的离散时滞系统x(n+1)=(1-α)x(n)+βx(n-1)-x3(n-3)施加时滞反馈,得到了它的扰动系统x(n+1)=(1-α)x(n)+βx(n-)-x3(n-3)+β(x(n-3)-x(n-1)).将这两个系统进行比较,借助于数值仿真,我们发现,原始系统仅仅存在规则的振动模式,而在扰动系统中,存在丰富的动力学行为,包括多个振动模式(2周期轨道、4周期轨道、8周期轨道)共存、Hopf分支产生的极限环、混沌、超混沌行为等.因而,引入时滞反馈会改变系统的拓扑结构,使系统变得更为复杂.2.研究了一类具有时滞的Cournot双寡头博弈模型的分支问题.基于Cournot双寡头博弈模型,提出了一类具有两个时滞的Coumot双寡头连续模型.通过稳定性分析,确定了Nash平衡点渐近稳定的充分条件;根据Hopf分支定理,确定了系统出现Hopf分支时参数的临界值;同时,应用中心流形定理和规范型理论确定了Hopf分支的方向、分支周期解的稳定性以及周期的明确的计算公式.通过数值仿真,验证了理论分析的正确性,并阐释了系统参数对于系统稳定性的影响.3.研究了一类具有三个时滞的Goodwin基因表达模型的分支问题.选择三个时滞的和作为分支参数,运用频域法研究了相应的特征方程,确定了Hopf分支出现时分支参数的临界值;利用Nyquist准则和图示Hopf分支定理确定了Hopf分支的方向和稳定性;应用高维常微分方程的Bendixson准则和泛函微分方程的全局Hopf分支定理确定了系统中周期解的全局存在性.最后通过数值仿真,验证了上述结论的正确性.4.研究了一类具有状态依赖时滞的基因表达模型的分支问题.将状态依赖时滞引入一类基因表达模型,提出了一类具有状态依赖时滞的基因表达模型.首先分析了该模型定态解的局部稳定性;然后讨论了系统出现Hopf分支的条件,并应用扰动方法确定了Hopf分支出现时分支的方向以及分支周期解周期的变化;最后根据状态依赖时滞的三种特殊情形,通过数值仿真验证了理论分析的正确性,并揭示了系统中Hopf分支的全局存在性.5.研究了一类具有时滞的Kaldor-Kalecki商业周期模型的分支问题.首先,应用频域法研究了 Kaldor-Kalecki商业周期模型Hopf分支出现的条件,并根据Nyquist准则和图示Hopf分支定理确定了Hopf分支的方向和稳定性;然后,基于时滞反馈控制思想,对Kaldor-Kalecki商业周期模型的Hopf分支进行了控制,使得控制参数取特定值时,Hopf分支可以延迟出现甚至消失;最后,将分布时滞引入该模型,建立了一个具有离散时滞和分布时滞的Kaldor-Kalecki模型,应用多尺度方法确定了系统出现Hopf分支时分支的方向以及分支周期解的稳定性,并通过数值仿真揭示了系统参数对于系统稳定性的影响。
[Abstract]:In this paper , we have studied the bifurcation problem of a class of nonlinear models with time - delay , such as center manifold theorem , canonical form theory , multi - scale method , frequency domain method , perturbation method and global Hopf bifurcation theorem . The direction and stability of Hopf bifurcation are determined by using the Nyquist criterion and the graph Hopf bifurcation theorem ; the global existence of periodic solutions in the system is determined by using the Bendixson criterion of the high dimensional ordinary differential equation and the global Hopf bifurcation theorem of the functional differential equation .

【学位授予单位】：北京交通大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O175

【参考文献】