有限群的超可解性和关于正规超可解群的积的一些问题

发布时间：2018-03-05 03:20

  本文选题：有限群　切入点：超可解群　出处：《中国科学技术大学》2016年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：超可解群是一种重要的群类。本论文主要研究有限群的超可解性的一些问题。其内容分为三部分：一,我们研究Frobenius群作用在群G上对G的超可解性和p-超可解性的影响,并由此部分地解决了一个公开问题。二,我们通过研究群G和G的正规子群的Sylow子群的所有极大子群的部分CAP*-嵌入性,给出了G的超可解性和G的正规子群在G中的超可解嵌入性的新的刻画。三,我们研究了正规超可解群的积所构成的极小非超可解群类中群的结构分类,解决了相关的一个疑难问题。论文共分为五章：在第一章中,我们介绍了本学位论文的研究背景和所得到的进展与主要成果。在第二章中,我们介绍了本文常用的一些基本概念和基础知识。在第三章中,我们研究了群G有一个自同构群为Frobenius群FH且CG(F)=1的情形。首先,通过证明：如果CG(H)是p-闭的(p-幂零的),G也是p-闭(p-幂零的),我们建立了G与CG(H)结构之间的某种关系。E.I.Khukhro, N. Y Makarenko和P. Shumyatsky在[45, Lemma 2.6]证明了：如果p∈π(G),那么G有唯一的FH-不变的Sylow p-子群。我们推广了该结果：群G不仅含有唯一的FH-不变的Sylow子群,而且这些FH-不变的Sylow子群形成了G的一个FH-不变的Sylow系统。最后,利用所得到的结果我们证明了：如果CG(H)是p-超可解的且CG'(H)是p-幂零的,那么G是p-超可解的。由此得到了G的超可解性的一个刻画,从而部分解决了著名数学家E. I. Khukhro提出的一个公开问题。在第四章中,在前人关于CAP-子群、部分CAP-子群和CAP*-子群的研究基础上,我们进一步研究了部分CAP*-子群对群的结构的影响。首先,我们研究了部分CAP*-子群的一些基本性质。在此基础上,我们利用群G的Sylow子群的极大子群的部分CAP*性质研究了群G的超可解性与p-幂零性。最后,通过举例说明：群G的所有极小子群和4阶循环子群都是G的部分CAP*-子群,G并不一定是超可解群,同时给出了本章结果的一些应用。在第五章中,我们研究了两个正规超可解子群的积构成的极小非超可解群类中群的结构分类,从而解决了一个公开的疑难问题。通过利用这一结果,得到了两个正规超可解群的积仍为超可解群的一些充分条件。同时,通过研究两个p-超可解子群的积的p超可解性,我们给出两个正规超可解群的积为超可解群的一些新的刻画。
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本文编号：1568526