非线性偏微分方程的保结构算法

发布时间：2018-03-13 07:33

  本文选题：保结构算法　切入点：非线性偏微分方程　出处：《南京大学》2017年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：近几十年来,对微分方程保结构算法的研究已经获得了巨大的发展,并且在现代应用科学与工程计算领域中都具有非常重要的研究价值。冯康院士在上世纪八十年代首次提出哈密顿系统的辛算法,开启了微分方程保结构算法这一崭新的领域。在本文中,我们主要研究非线性偏微分方程的保结构算法。在对于偏微分方程数值方法的研究中,非线性发展型偏微分方程因其广泛应用而特别受到关注。其涉及领域包括药理学、结构生物学、半导体、超导体、等离子体、物理学、天体力学及材料力学等。其中,非线性波动方程是一类极其重要的发展型偏微分方程,描述了自然界中的各种波动现象,包括光波、水波和声波等,并且定量地刻画了波速与介质属性之间的关系,在电子、航空航天等领域都有着广泛的应用。因此,对于非线性偏微分方程的数值方法研究无疑具有重要的理论价值和实际意义。众所周知,非线性发展型偏微分方程具有很多特殊的几何结构和物理性质,例如:能量守恒或耗散性、对称性、振荡性、辛性、多辛性等等。因此,为了获得更好的计算效果,在设计数值算法时,我们希望能够尽可能多地保持连续系统的这些几何结构和物理属性。另外,由于非线性项的存在,在设计具有高收敛阶的、稳定的数值格式时,存在着很大的困难。所以,对于非线性发展型偏微分方程设计高阶稳定的保结构的数值方法显得特别具有挑战性。基于非线性常微分系统已有的一些保结构算法,本文将对于非线性偏微分方程继续深入研究,并且构造同时具备多种保结构性质的高阶稳定的算法。另一方面,在纯数学与应用数学、物理学、天文学、分子生物学、电子工程、量子力学等应用科学领域中广泛存在着一类非线性偏微分方程:(?)其中Ω∈eRd(d≥1)是一个有界区域,f(u)是u的一个函数,u:Ω×[t0,T]→ R表示t时刻在位置x处的波位移。我们假设非线性偏微分方程(1)满足给定的边界条件,例如:周期边界条件,Dirichlet边界条件或者Neumann边界条件。线性项Δu使得该系统具有许多显著的特性。而传统的数值方法,如标准的有限差分方法、有限元方法以及线方法,具有有限的精度或者并不能够充分考虑到线性项Δu的离散所带来的特殊结构,计算效果往往并不显著。因此,近年来越来越多的学者致力于设计和分析有效的求解非线性偏微分系统(1)的保结构算法的研究。基于以上陈述,本论文研究求解非线性偏微分方程的有效的、具有高精度的、稳定的保结构算法,内容安排如下:第1章简要介绍了非线性偏微分方程的相关内容以及系统的基本性质、保能量算法以及对称方法。第2章对于一维具有Neumann边界条件的非线性哈密尔顿波方程构造了一些保能量方法。通过空间有限差分半离散化得到一类守恒的常微分哈密尔顿系统:其哈密尔顿函数为:事实上,该哈密尔顿可以看做是原连续系统的一个近似能量(离散能量)。对于哈密尔顿系统(2)提出了对称的平均向量场方法和改进的平均向量场方法。从而得到了一系列具有高精度的保能量的数值格式。第3章研究了二维的具有Neumann边界条件的非线性哈密尔顿波方程。通过运用一个四阶有限差分算子离散空间导数后,分析了半离散系统的能量守恒性、稳定性和收敛性。注意到,这里的空间离散化方法使得在边界点和内部点上都具有四阶精度。由于这类方程是能量守恒的,故运用平均向量场方法到导出的常微分系统,从而构造了保能量的全离散格式。对于一般的具有不同边界条件的高维非线性波方程,第4章中提出了算子型常数变易公式。基于算子谱理论,分析了依赖于拉普拉斯Δ的算子函数的有界性和一些有用的性质,并且对于高维的具有不同边界条件的哈密尔顿波方程提出了一个精确的保能量公式。基于算子型常数变易公式,第5章中利用Brikhoff-Hermite求积公式,构造了一类对称的任意高阶的时间积分方法,并且分析了全离散格式的线性稳定性、非线性稳定性和收敛性。第6章中,首先对一维的周期边界问题构造了任意高阶的Lagrange组合型时间积分方法。适当的空间离散化以后,分析了全离散格式的非线性稳定性和收敛性;然后分析了所构造的时间积分方法结合离散的快速Sine/Cosine变换可以很好地用来模拟二维的具有Dirichlet/Neumann边界的非线性波方程。论文的创新点主要有以下几个方面:·结合高阶有限差分方法和平均向量场方法,对于具有Neumann边界条件的一维、二维的非线性哈密尔顿波方程,构造了一些高精度的保能量方法。空间有限差分离散可以使得在内部点和边界点上都能达到相同的精度。·对于高维的非线性波方程,提出了算子型常数变易公式;通过算子谱理论,分析了算子函数的有界性和其它的一些有用的性质。·对于高维的具有不同边界条件的非线性哈密尔顿波方程,建立了一个精确的保能量格式。·运用Brikhoff-Hermite求积公式到算子型常数变易公式,构造了一类对称的、具有任意高阶的时间积分方法。相较于传统的PDE数值求解方法,新方法降低了问题本身对时间方向的光滑性要求。·空间离散化以后,我们分析了 Brikhoff-Hermite时间积分方法的线性及非线性稳定性以及收敛性。另外,我们还分析了新方法的长时间行为,包括对称性和长时间能量保持性。·构造了任意高阶的Lagrange组合型时间积分方法,并且分析了方法的非线性稳定性和收敛性。
[Abstract]:......
【学位授予单位】：南京大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O175.29
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本文编号：1605410