非线性高维双曲方程的整体经典解或解的爆破

发布时间：2018-03-13 13:06

本文选题：非线性波动方程　切入点：爆破　出处：《南京大学》2015年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：有关非线性高维双曲方程整体经典解或解爆破的研究不但是偏微分方程理论的核心问题,而且也有着强烈的物理应用背景,如在流体力学,量子力学,控制论等学科中。从事该研究领域的著名专家有：J.Bourgain(1998年菲尔兹奖获得者),Tao Terence(2004年菲尔兹奖获得者),L.Hormander(1968年菲尔兹奖获得者),S.Alinhac(巴黎第六大学教授),S.Klainermann(普林斯顿大学教授),Christodoulou(普林斯顿大学教授),I.Rodnianski(普林斯顿大学教授)等。对于n维空间中非线性波动方程的小初值问题：其中并且f在0点二阶消失。当初始值是具有紧支集的光滑函数时,通过许多数学家的努力,到2000年左右人们已知基本解决了相关全局光滑解(n3)或产生爆破现象的(n=1,2,3)问题。从已经解决问题的方程形式我们可以看到,非线性的扰动项只与解的导数有关,而与解的本身无关,而且该无关性是至关重要的。也就是说当系数扰动项与解本身有关时,情况非常复杂。事实上,在上个世纪后期,对于系数与解本身相关的情况,一些著名数学家就对特殊的情形给出了令人鼓舞的结果,比如说当他们满足弱零条件或者n大于4时,全局解是存在的。为了研究更一般的非线性波方程Cauchy问题的解的整体存在性或爆破问题,S.Alinhac在2003年证明了三维非线性波动方程：的全局的存在性。他的工作是新奇深刻且有突破性的。而H.Lindblad又于2008年结合广义相对论方程的研究方法对更一般的情形给出了全局存在性结果。除了上述的理论背景外,研究高维隐含解本身的非线性波动方程还具有相当的物理背景,如来自于来自于流体动力学和广义相对论中的拟线性波动方程(或方程组)、来自于材料科学以及变分学中的散度型的非线性波动方程等。本文中,我们将考虑非线性波动方程(0.0.1)中的gjk和f不仅与解的导数u1有关,而且与解本身u有关的一些情形。我们是从经典解的角度来考虑问题的,所以在这篇博士论文中,我们都是假设初值是光滑具有紧支集的,然后对不同类型的问题采用不用的方法研究其经典解的爆破性质或者全局存在性。本文的主要结果如下：在第二章中,我们着重研究一类特殊的非线性波动问题：三维压力梯度模型。这个模型起源于3维可压缩欧拉系统,它可以归结为形式是的这样一个波方程,其中i≤3)以及x=(x1,x2.x3)。在这一章中,我们是在初值是关于常状态的小扰动下建立的3维压力梯度方程经典解的爆破结果。在第三章中,我们主要考虑带有小初值的三维非线性波动方程的解的爆破问题,这是具有更一般形式的一个典型的代表,其中关于其变量光滑且可以显式地表示为这里cij,dij以及eijk是常数,并且至少有一个(i,j)满足dij≠0。另外,不满足零条件。对于三维波方程(?)t2u-(1+u)△u=0或者(?)t2u-(1+(?)tu)△u=0H.Lindblad,S.Alinhac以及F.John已经相应的给出了全局存在性或爆破结果。在这一章,我们主要证明了(?)t2u-(1+u+(?)tu)△u=0的小初值光滑解在有限时间内爆破,并且在初值是径向对称时建立了存在时间Tε的显式表达式。在第四章中,我们关注的是一般形式的二维波动方程0,其中gij(u,%絬)的形式与第三章中的相同。当零条件不满足并且假设初值具有一个合适的非退化条件时,我们证明了在有限时间内小初值的光滑解是爆破的。更近一步的,我们建立了存在时间的显式表达式以及相应的爆破机制。在第五章中,我们研究了二维Chaplygin气体的可压缩欧拉系统的全局对称解问题。对于一维或者高维多方气体的可压缩欧拉系统,我们已经知道了在有限时间内光滑解将产生奇性。然而,对于三位的Chaplygin气体,由于无旋和等熵流导致的势方程中“零条件”起了至关重要的作用,P. Godin已经证明了当初值是一个常状态的光滑紧致小扰动时,带有可变熵的三维光滑球对称流是全局存在的。借助于满足两个零条件的二维拟线性波动方程的全局光滑小解的存在性,通过寻求一个合适的“灵魂权”以及一系列的分析,我们可以得到二维Chaplygin气体小对称解的一致加权估计。更近一步地,用连续性方法建立了光滑解的全局存在性。
[Abstract]:......
【学位授予单位】：南京大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175.29

【参考文献】