丢番图逼近中的一些下极限集的Haudorff维数

发布时间：2018-03-17 07:08

  本文选题：丢番图逼近　切入点：质量分布原理　出处：《华中科技大学》2015年硕士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：丢番图逼近是数论中一个重要的分支,历史悠久。近些年来,研究在这方面的取得了很大进步。丢番图逼近的内容非常丰富,其主要内容就是实数的有理逼近问题。众所周知,实数的有理逼近问题与连分数联系密切,求一个数的连分数展开式,可以转换成构造有理逼近解的问题,进而连分数成为了研究实数有理逼近的一个有力工具。本文在Adiceam、Jarn′?k和Besicovith工作的基础上研究并改进了可被有理数精确逼近的实数所构成的下极限集的Hausdorff维数。记Wτ= Wτ(N) = {x ∈ R : |x- p/q| q-τ, i.o.(p, q) ∈ N2},Wτ(Q)={x∈R:|x-p/q|q-τi.o.(p,q)∈N×Q}.设Q?N(其中Q是无穷子集)。考虑下极限集Wτ\Wτ(Q)的Hausdorf f维数,本文证明了对任意的τ2,如果Q是一个N\Q-自由集,那么Wτ\Wτ(Q)的维数和Wτ的Hausdorff维数一样,都是2/τ。另一方面,给出了一个当τ≤2时,对一般的Q,dimHWτ\Wτ(Q)=0?=1+υ(N\Q)τ的例子。本文分为四部分:第一章为绪论,主要介绍所研究问题的背景及其意义,并简述了国内外关于此问题的研究现状和相关的结论。第二章介绍了相关的预备知识,主要包括Hausdorff测度的定义及相关性质,连分数及其一些性质,质量分布原理及其他一些后文运用到的结论。第三章给出了本文的主要结论及其证明过程,在证明过程中构造Cantor集、测度以及长度度量的定义,根据以上的构造,运用质量分布原理证明本文的结论。第四章对本文主要结论的补充及其证明。最后一章主要是探讨相关结论的推广问题。
[Abstract]:Diophantine approximation is an important branch of number theory and has a long history. In recent years, great progress has been made in the research of Diophantine approximation. The content of Diophantine approximation is very rich, and its main content is the rational approximation of real numbers. The problem of rational approximation of real numbers is closely related to continuous fractions. Finding a continuous fractional expansion of a number can be transformed into a problem of constructing rational approximation solutions, and then the continuous fraction becomes a powerful tool for studying rational approximation of real numbers. Based on the work of K and Besicovith, we study and improve the Hausdorff dimension of the lower limit set composed of real numbers which can be accurately approximated by rational numbers. Let W 蟿 = W 蟿 N) = {x 鈭，

本文编号：1623673