计算机数学毕业论文
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题 目
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毕业教务处制表 毕业
毕业二〇一五年 九月二十 日
一、论文说明
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论文题目：巧用三角函数解函数值域问题
学生姓名： X X X 指导教师： X X X学科专业： X X X
学 号： X X X X X X X X X X X X X X 学习中心： X X X X X X X X X X X X X X
东北师范大学远程与继续教育学院
X X X X 年X X月
独 创 性 声 明
本人对本文有以下声明：
1. 本人所呈交的论文是在指导教师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，已按相关要求及时提交论文稿件，最终形成本文；
2. 在撰写过程中主动与导师保持密切联系，及时接受导师的指导；
3. 本文符合相关格式要求，除文中特别加以标注的地方外，论文中单篇引用他人已经发表或撰写过的研究成果不超过800字；
4. 本人本文成稿过程中不存在他人代写、抄袭或和他人论文雷同的现象。
论文作者签名：
日 期： 年 月
摘 要
对于这类无理函数的值域问题，初看一般有如下两种传统的解决思路：①通过平方去掉根号，再根据二次函数的一些性质求值域；②换元法，令其中一项等于t，将原函数化为关于t的函数，再求解。这两种方法大家比较常用，但实际操作起来却没有那么容易。
本研究用三角函数换元解无理函数的值域问题，其优点是：①简化了计算步骤，减少了运算量，便于学生理解与掌握；②联系了三角函数的相关知识，注意了知识之间的转化与灵活运用。
关键词：值域；无理函数；三角函数
前言
笔者最近在做题的过程中，发现有这样的一道题：求函数的值域⑴
y?x?2??x，⑵y?x?4??3x。对于这类无理函数的值域问题，初看一般有如下两种传统的解决思路：①通过平方去掉根号，再根据二次函数的一些性质求值域；②换元法，令其中一项等于t，将原函数化为关于t的函数，再求解。这两种方法大家比较常用，但实际操作起来却没有那么容易。于是，当学生遇到这类题时，首先从心理上就会产生畏惧感。为了帮助大家更好地解决这类无理函数的值域问题，笔者查阅了一些复习参考资料，发现书中针对具体的题目给出了一种相对简单的解决方法，但却没有对一般的情况进行深入探讨。现在笔者对于一般的情况给出解题过程，并说明这种方法的优势。
一、用三角函数换元求无理函数的值域
问题：求函数y?ax?b??dx的值域，其中a,b,c,d?R（a,d?0）且满足函数是有定义的。
解：首先，求函数的定义域。
由于a,b,c,d的大小关系以及取值正负都是未知的，但不难发现，只有a,d在求定义域时起着关键作用，因此只需对a,d进行分情况讨论：
① ②
当a,d同号时，显然该函数在其定义域内为单调函数，可以根据函数的单调性直接求其值域；
当a,d异号时，不妨设a>0,d<0
??b?c?
此时函数定义域为? ,?
?ad?
因此，我们主要对②进行讨论
分析：观察函数y?ax?b?c?dx，为了去掉根号，我们发现，如果能够利用三角函数的有关知识：sin2??cos2??1，将一个根号下构造成m2sin2?，另一个根号
???
下构造成n2cos2?（m,n?R?，，???0,?）的形式，问题就会简化很多。同时由于原
?2?
?
函数根号下都含有常数项，且知道sin?在??[0,]上是单调增函数，因此，为了将常数
2项去掉且保证原函数定义域不发生变化，想到令x?
?b??cb????
，????sin2?（???0,?）
a?da??2?
其中
?b??cb?
为定义域左端点的值，???为定义域两端点值之差。这样换元后，原函数aa??d
???
就化成大家所熟悉的函数y?msin??ncos?（m,n?R?，???0,?）的形式，问题便
?2?
可以轻松地解决了。
求解过程：
令x?
?b??cb????????sin2? ，???0,? a?da??2?
??b??cb?2???b??cb?2?
????sin???b?c?d?????sin?? 则y?a?adaada????????
?b?
acbdsin??c?cos? da
acbd
?sin????? ， 其中tan??da
c?
bd
???a
，???0,? ac?2?b?
d
?b?c?
∴????[?,
?
2
??] 即sin(???)?[min(sin?,cos?),1]
∴y?c?
bdacacbd,b?),b?c??] adda
从而，综合①②我们就可以解决这类一般无理函数的值域问题了。
二、用三角函数换元求无理函数值域的实例
回过头来考虑刚开始提到的那两道题：
⑴由题可知 a?1,b??2,c?3,d??1 所以b?c?
acbdbdac
??2， c??1，b??1 daad
从而函数的值域为[1,2]
⑵由题可知a?1,b??4,c?15,d??3 所以b?c?
acbdbdac??2，c??3，b??1 daad
从而函数的值域为?1,2?
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