几类偏微分方程定解问题的定性分析

发布时间：2018-03-20 14:35

  本文选题：反应扩散方程　切入点：自由边界　出处：《哈尔滨工业大学》2015年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：偏微分方程被广泛地运用于探讨物理、化学、生物学等领域的各种问题,其研究内容和方法是多种多样的。为了得到具有理论和实际意义的结果,方程通常会带有适当的附加条件——初边值条件。本博士学位论文讨论了几类反应扩散方程的自由边界问题和一类高阶偏微分方程的Navier边界问题。首先考察一维空间上两种易燃物混合时热传播模型的自由边界问题,其具有反应项v~p和u~q.主要目的是研究该问题正解或最大正解的存在性、唯一性、正则性和渐近性。当p≥1且q≥1时,我们利用抛物型方程Lp理论和压缩映射原理得到关于时间局部解的存在唯一性,进而将该唯一解延拓到关于时间的最大存在区间上;当p1或q1时,利用逼近方法证明最大正解的存在唯一性,并给出关于最大存在时间有限的解必将爆破的结论。利用抛物型方程的内部Schauder估计得到解的正则性,且给出自由边界的单调性。借助于建立的比较原理,通过构造上下解给出该问题正解关于时间全局存在和有限时刻爆破的充分条件,而且还研究关于时间全局的有界解的长时间性质。其次探讨两个高维空间上扩散竞争模型的自由边界问题。一个描述占有共同初始区域的两类竞争物种通过自由边界向外传播的动力学性质;另一个看做为入侵本土物种的竞争物种通过自由边界向外传播的动力学性质。对于前者,我们给出解的全局存在性、唯一性及其估计;然后通过引入相应问题的特征值,给出两竞争物种蔓延和熄灭的充分条件,继而确立蔓延和熄灭的准则;对成功蔓延情形,提供该问题解的长时间性质。对于后者,结合相关技巧得到了类似于前者的结论;而且给出自由边界传播速度的一个粗略估计。再次考虑一类具有不同蔓延系数单物种模型的双边自由边界问题。我们借助于ω-极限集给出解的收敛定理,继而通过构造适合的上下解得到蔓延和熄灭的充分条件,再借助于连续性方法确立蔓延和熄灭准则;对于成功蔓延情形,利用零点理论得到解的一致收敛性和自由边界传播速度的较精确估计。接着研究一类具有移动和混合边界条件在对流环境中单物种模型的自由边界问题。其目的是理解对流环境和混合边界条件对物种动力学性质的影响。我们给出小对流项系数时解蔓延和熄灭二择一性质及两种控制蔓延熄灭的临界值;提供解的一致收敛性和自由边界传播速度的较精确估计;描述较大对流项系数时解的长时间性质。最后讨论半空间上高阶偏微分方程的Navier边界问题。该问题解的性质是通过研究与之对应的带有Bessel位势的积分方程解的性质来得到。两次利用正则提升定理提高正解的正则性;借助于移动平面法得到正解的单调性;基于单调性结果,呈现正解的不存在性。
[Abstract]:Partial differential equations (PDEs) are widely used to discuss various problems in physics, chemistry, biology and so on. The equations usually have appropriate additional conditions-initial-boundary value conditions. The free boundary problems for several kinds of reaction-diffusion equations and the Navier boundary problems for a class of higher order partial differential equations are discussed in this dissertation. The free boundary problem of the heat transfer model when the two combustible compounds are mixed on the interlayer, The main purpose of this paper is to study the existence, uniqueness, regularity and asymptotic behavior of the positive solution or the maximum positive solution of the problem when p 鈮，

本文编号：1639523