平均曲率流及相关问题的研究
本文选题：平均曲率流 切入点：辛曲面 出处：《中国科学技术大学》2017年博士论文
【摘要】：本文着重研究平均曲率流及相关的若干问题.主要内容包括:研究了CP2中辛曲面的平均曲率流的收敛性,证明了CP2中满足一定曲率拼挤条件的辛平均曲率流收敛到CP1,并给出了CP2中曲率积分拼挤条件下辛平均曲率流的收敛性定理;研究了欧氏空间中高余维自收缩子的无迹第二基本形式A的间隙现象,得到了在平均曲率处处非零或平均曲率适当有界的条件下一些曲率积分拼挤定理,还证明了关于A的逐点拼挤条件下自收缩子的刚性定理;研究了外蕴曲率拼挤条件下的Myers型定理,以平均曲率流为工具证明了欧氏空间中全曲率有限的超曲面的紧致性定理;以及用Yamabe流证明了局部共形平坦黎曼流形的紧致性定理.本文主要由四部分内容组成(第三章至第六章).第三章研究了CP2中辛曲面的平均曲率流的收敛性.我们可以利用平均曲率流将Kshler曲面中的辛曲面形变为全纯曲线,但是关于辛平均曲率流解的长时间存在性及收敛性的结果却不多.陈-李-田[25]证明了如果辛曲面是个图,则辛平均曲率流的长时间解存在,且收敛到全纯曲线.韩-李[50]证明了在具有正数量曲率的Kshler-Einstein曲面中,如果初始曲面充分接近于全纯曲线,那么辛平均曲率流长时间解存在,且收敛到全纯曲线.在第三章中,我们证明了在CP2中,如果初始辛曲面满足适当的曲率拼挤条件,那么沿平均曲率流,辛曲面会越来越全脐,且收敛到全脐曲面CP1.这个结果是对韩-李-杨[52]结果的细化.我们还给出了曲率积分拼挤条件下CP2中辛平均曲率流的收敛性定理.第四章研究了自收缩子的拼挤现象.自收缩子在平均曲率流的研究中有着重要的地位,它是平均曲率流的第一类奇点模型,又作为平均曲率流在奇点处的切流而出现.Abresch-Langer[2],Huisken[46,47],Colding-Minicozzi[32]等研究了余一维自收缩子的几何分类,Smoczyk[75]研究了平均曲率处处非零且单位化平均曲率向量平行的任意余维自收缩子与球面中极小子流形的关系.Le-Sesum[58]和曹-李[17]得到了具有多项式体积增长的自收缩子关于第二基本形式A的条件|A|2 ≤ 1/2下的分类定理,丁-忻[34]证明了曲率积分拼挤条件下完备的自收缩子的间隙定理.成-彭[28]证明了Rn+p中满足sup|A|21/2的完备自收缩子等距于欧氏空间.第四章中,我们研究了自收缩子关于无迹第二基本形式A的间隙现象,证明了Rn+p(n ≥ 3)中具有多项式体积增长的完备自收缩子,如果其平均曲率处处非零,且‖A‖nC(n),那么它等距于Sn((?)).去掉多项式体积增长的条件,我们证明了在平均曲率向量H适当有界的条件下曲率积分拼挤定理.另外,我们还证明了在逐点曲率拼挤条件下自收缩子的一些刚性结果.第五章主要关注外蕴曲率拼挤条件下子流形的Myers型定理.文献[7,8,35]证明了空间形式中平行平均曲率向量的子流形的紧致性定理.我们证明了对于欧氏空间中的完备超曲面,如果第二基本形式有界,平均曲率有严格大于零的一致下界,且无迹第二基本形式A的Lq(≥ 2)范数有界,那么这个超曲面是紧致的.我们用反证法来证明这个结果,证明过程主要利用平均曲率流去形变超曲面.第六章研究了局部共形平坦黎曼流形的紧致性.我们证明了,对于Yamabe常数为正的局部共形平坦完备黎曼流形,如果Ricci曲率有上界,数量曲率有正下界,且无迹Ricci曲率Rc的LQ(q≥ 2)范数有界,那么该黎曼流形是紧致的.与第五章类似,我们用Yamabe流来证明定理.
[Abstract]:......
【学位授予单位】：中国科学技术大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O186.1
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，本文编号：1714738
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