平方增长的平均场倒向随机微分方程

发布时间：2018-04-09 18:54

  本文选题：平均场倒向随机微分方程　切入点：平方增长　出处：《山东大学》2015年硕士论文

【摘要】：自Buckdahn,Djehiche,Li和Peng[1]首次引入平均场倒向随机微分方程以后,这类方程便受到广泛关注。Du,Li和Wei[2]考虑了一维带连续系数的平均场倒向随机微分方程。学者们发现此类方程同偏微分方程、随机控制以及随机微分对策等不同领域中的问题联系紧密(可参见[1],[3],[4],[5])。然而,在以往的工作中,对方程生成元的假设均较强。在本文中,我们首先证明当终端有界时,生成元在不同假设下,平方增长的平均场倒向随机微分方程解的存在性。另一方面,经典的平均场倒向随机微分方程都是基于自然信息流的(由布朗运动生成),本文还考虑了一类关于一般信息流的平均场倒向随机微分方程。因此,论文内容主要可分为两个部分。第一部分：我们讨论了在不同假设下的一维平方增长的平均场倒向随机微分方程M=(?)+(?)tT E'[f(s,Y's,Ys,Za)]ds-(?)tT ZadWs,0≤t≤T (1)解的性质,这里“平方增长”主要是指生成元.f(t,y’,y,z)关于z平方增长。由于终端值∈无界的情形较为复杂且不易处理,因此,我们对方程(1)的讨论均是在终端值有界的框架下进行的。第一,我们证明了当生成元f连续且关于y’单调递增、关于y超线性增长、关于z二次增长时,|f(t,y'y,z)|≤l(y)+C|z|2,其中l为一函数类中的严格正值连续函数,(1)存在最大有界解。由于平方增长的平均场倒向随机微分方程结构的特殊性,我们利用指数变换法,通过考虑其相应等价方程解的存在性来研究方程(1)的解。我们选取了一列连续函数序列去逼近等价方程的生成元,这与以往利用Lipschitz函数序列逼近的方法有所差别。同时,我们得到在此类假设下,方程(1)亦有相应的比较定理,比较定理对后面的推广起到了关键作用。第二,我们证明了若生成元f关于y满足单调性条件,(f(t,y',y,z)-f(t,y',0,z))y≤μy2对某常数μ≥0,以及关于z平方增长且|f(t,y',y,z)|≤(?)(|y|)+A|z|2对某连续非递减函数(?):R+→R+及常数4≥0,此时方程(1)存在一最大有界解。第三,我们得到了一个一般性的结果。当生成元f(t,y',y,z)关于y’单调递增、关于(f’,y)线性增长以及关于z二次增长时,|f(t,y',y,z)|≤C(1+|y'|+|y|+|z|2),方程(1)存在一最大有界解。第二部分：本文推广了一类关于一般信息流的平均场倒向随机微分方程,形式如下Yt=(?)+(?)和tTE'[f(s,Y's,Ys)]ds-(MT-Mt), (2)其中M为关于该信息流适应的“右连左极”鞅。我们考虑生成元f满足如下假设：(M1)E[(?)0T|f(t,0,0)|2]∞;(M2)存在常数G0,使得对所有的(y1,y2,z1,z2)∈R4, |f(t,y1,z1)-f(t,y2,z2)|≤C(|y1-y2|+|z1-z2|,P-a.s.；(M3)存在两正值、确定性函数u(t),u(t),使得对所有的(y1,y2,z1,z2)∈R4，，|f(t,y1,z1)-f(t,y2,z2)|≤u(t)|y1-y2|+v(t)|z1-z2|,P-a.s.,其中(?)0T[u(t)+u(t)]dt+∞；(M4)存在常数C0,使得(y1-y2)(f(t,y'1,y1)-f(t,y'2,y2))≤C|y1-y2|2,P-a.s.；(M5)f(t,y',y)关于y’,y连续,且存在一正值确定性函数A(t),使得对所有的y',y∈R, |f(t,y',y)|≤A(t),pa.8.其中(?)0TA(s)ds∞。我们分别证明了当生成元.f满足假设条件(M1)+(M2),(M1)+(M3), (M1)+(M4)+(M5)时,(2)在S2×M2空间存在唯一解。最后,在此基础上,我们又讨论了一类带反射的平均场倒向随机微分方程,形如并得到当生成元.f满足假设(M1)和(M2)时,(3)存在唯一解。
[Abstract]:Since the first introduction of the average field inversion stochastic differential equation from Buckdahn , Djehiche , Li and Peng Li 1 , this kind of equation is widely concerned . Du , Li and Wei Yan 2 have considered the average field inversion stochastic differential equation with the continuous coefficient of one dimension . On the other hand , the classical mean field inversion stochastic differential equation is based on the existence of the solution of the stochastic differential equation . On the other hand , the classical mean field inverse stochastic differential equation is based on the existence of the solution of the stochastic differential equation . This paper studies the solution of equation ( 1 ) by considering the existence of equation ( 1 ) . For a continuous non - decreasing function ( ? ) : R + 鈫

本文编号：1727703