统一模分配性

发布时间：2018-04-18 19:11

本文选题：模糊联结词 + 聚合算子　；参考：《山东大学》2017年博士论文

【摘要】：把一组数据转换/合并成一个可表示值的过程称之为聚合,并称实现此过程的算子为聚合算子.聚合应用于需要聚合专家意见或综合判断的领域,如决策、统计、经济计量等领域.至今,已有大量文献研究聚合问题.这类问题的一个共同特征是,实现聚合过程的聚合算子满足一定的函数方程系统,而所满足的具体函数方程系统则与聚合算子的应用领域密切相关.如,在多属性决策中,若所有属性的满意度均为某个常值,则整体的满意度也应为这个常值.事实上,满足上述性质的聚合算子须满足幂等性方程,即,若干个相同元素的聚合值仍为该元素.现今,存在诸多不同种类的聚合算子,如何选取适当的聚合算子取决于其应用背景,不同的应用背景须不同的聚合算子.按其行为、功能的不同,聚合算子可分为四类:合取型聚合算子,以三角模,简称t-模为代表;析取型聚合算子,以三角余模,简称t-余模为代表;平均型聚合算子,以OWA算子、积分算子为代表;混合型聚合算子,以统一模和零模(又称t-算子)为代表.混合型聚合算子一般兼具合取型、析取型和平均型聚合算子特征,是一类有广泛应用的聚合算子.作为混合型聚合算子代表的统一模,具有良好的性能,其模型解释为:聚合存在阈值,在数学上,此阈值可称为单位元或中立元,其含义是:让其他输入决定输出,此输入与输出无关.当所有的输入小于此阈值时,此时聚合为合取型;当所有输入大于阈值时,此时聚合为析取型;若阈值介于某两个输入之间,则此时聚合为平均型.从代数角度讲,三角模和三角余模是定义在单位区间上分别以1,0为单位元的阿贝尔序半群,而统一模是定义在单位区间上以任意给定正常数为单位元的阿贝尔序半群.从应用角度而言,统一模可应用于信息聚合,专家系统,神经元网络,模糊系统模型,伪分析和测度论,模糊数学形态学,模糊集和模糊逻辑,近似推理等领域.统一模不是合取的,便是析取的.因此它能应用于模糊集理论及模糊逻辑中.故,在逻辑联结词的背景下,统一模这一逻辑联结词被广泛研究.由于统一模在实践中的广泛应用,从理论角度研究统一模是有意义的,且是必须的.其中,理论研究的一个主题是,刻画具有一定性质的统一模,给出其结构特征.而至于统一模要满足何种性质则与其应用领域相关.如前文所述,研究具有一定性质的聚合算子通常转化为求解相关的函数方程,如幂等性、模态性、Frank与Alsina方程、迁移性、分配性等等.因此,不须区分性质和相应的函数方程.两个算子之间分配性有着悠久的研究历史,如:在环中,乘法关于加法分配;在格中,乘法关于并分配.分配性适用的领域可归纳如下:某一领域中有两种不同的行为,此两种行为可用两个聚合模型来解释且此两个聚合模型之间关联假设为分配性,如模糊逻辑中的逻辑"且'"和逻辑"或";伪分析中的伪加和伪乘;效用论中的博弈和联合接受度;心理物理学中的感觉强度和刺激强度等等.本文将研究统一模分配性,实质上是寻求分配性方程的统一模解.统一模仅要求满足四条公理,即,交换性,结合性,单调性及有单位元.故,对一般统一模而言,无良好的结构特征.事实上,也无法刻画其结构特征.然而,通过附加额外的条件,可得到五类结构特征良好的统一模,即,Umax和Umin类统一模,幂等统一模,可表示统一模,单位开区间上连续统一模及局部内统一模.上述五类统一模的结构特征已经被完全刻画.现有关于统一模分配性的研究仅涉及上述五类常见统一模.其主要思路是利用此五类常见统一模的良好结构特征来进一步确定满足分配性方程的充分必要条件,换言之,利用此五类常见统一模的良好结构特征来进一步确定满足分配性所需的结构特征.因此,若统一模不属于上述五类具有良好结构特征的统一模,则上述方法失效,即对一般无良好结构特征的统一模,上述方法失效.尽管五类常见统一模具有良好的结构特征且已被完全刻画,但关于五类常见统一模分配性的研究亦不完善,缺乏系统性的研究,仅有一些零散的结论.五类常见统一模仅占统一模的极小一部分,事实上,五类常见统一模均是边界局部内的.文献中已出现非边界局部内统一模,但未被系统的研究且其结构特征亦未知.本文将采用一些新的研究方法与研究技术来求分配性方程的一般统一模解,即不再要求分配性方程中的两个统一模均属于五类常见统一模.在统一模定义的四条公理中,有单位元是一条重要的公理.当两个统一模有相同的单位元时,分配性方程变得十分特殊,其所有统一模解可被完全刻画.此为本文解决的第一个问题(详见第二章).当单位元不同时,情况十分复杂,完全刻画分配性方程所有统一模解十分困难.本文在将在一个较弱的条件,即在其中一个统一模属于五类常见统一模条件下求解分配性方程的统一模解.此研究思路可分为两个平行的部分,即,常见统一模关于一般统一模分配性(详见第三章)和一般统一模关于常见统一模(详见第四章).此为本文解决的第二个问题.因此,本研究包含五类常见统一模之间的分配性这一特殊情况,以往方法所得的解亦被包含在本文所得解中.本文不仅得到分配性方程得已知统一模解,亦得到许多统一模新解.故,本文有双重目标,即,展示所求统一模新解及编辑、整合所有统一模解.此研究思路亦可用于解决统一模迁移性和模态性问题.
[Abstract]:......
【学位授予单位】：山东大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O177

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