指数积分及指数类矩阵函数与向量乘积的有效计算

发布时间：2018-04-19 15:33

本文选题：指数积分 + B-级数　；参考：《上海师范大学》2016年博士论文

【摘要】：指数积分方法是求解半线性常微分方程初值问题的一类有效数值方法,其运算量主要体现在求解指数类矩阵函数与向量乘积的线性组合上本文考虑构造灵活的指数积分方法求解右端项F由刚性项f和非刚性项g组成的非线性常微分方程初值问题这类问题经常出现于科学和工程应用中,像机械设计、分子动力学、海洋学等等,典型的例子包括反应扩散方程和Navier-Stokes方程.当f和9具有不同特征的时候,一个自然的想法就是利用它们的特殊结构来设计有效的数值方法.虽然一般的指数积分方法可以直接应用到线性化的系统(1),但却忽略了系统的特殊结构.本文介绍针对系统(1)的灵活指数积分格式,利用B-级数理论和双色树理论提取了数值格式的级数(TB-级数)型表达形式,给出了提取一般阶条件的递推关系式,进而构造了若干具体的数值积分格式,并在解析半群的理论框架下对数值格式进行了收敛性分析.通过数值实验,我们验证了各个格式的数值阶和理论阶是完全一致的.进一步的数值比较表明,在求解刚性或震荡微分方程方面,所构造的数值格式在计算精度和计算效率方面能够超过一些流行的指数积分格式,展示出了一定的计算潜力.考虑到指数类矩阵函数与向量的乘积在指数积分的实施中扮演的重要作用,本文的另一个工作重心就是求解形如的指数类矩阵函数与向量乘积的线性组合.这类表达式是指数积分格式中的标准形式,指数积分方法的实施过程,本质上就是在每个时间步求解若干个形如(2)的表达式,其计算效率直接决定了指数积分方法的计算效率.关于这类问题的有效求解也是近年来数值代数领域的研究热点.本文的第四、五两章内容主要致力于构造有效的算法计算问题(2).在第四章,针对大型稀疏型矩阵A介绍了基于块的Krylov子空间方法整体求解(2).通过块Arnoldi/Lanczos子空间约化原始问题,我们构造了一个单个的低阶矩阵指数来逼近初始问题,该方法避免了分别计算每一个指数类矩阵函数与向量的乘积,因而能减少计算工作量.我们对算法进行了向前误差分析,提取了算法的误差级数展式,该展式与Saad利用单向量的标准Krylov子空间方法求解eAb0时给出的误差展式具有相似的形式.利用该误差展式的第一项,我们介绍了两个后验误差估计,进而构造了具有更高精度的修正格式.为了避免算法在运行中过程中生成的子空间维数过大,造成存储和计算困难,我们进一步结合时间步思想,发展了基于时间步的块Krylov子空间方法.数值实验表明,该时间步方法能完成较高的计算精度,其计算效率能超过一些典型算法,像ode45,ode15s以及phipm方法.在第五章,针对大型刚性矩阵A,介绍了求解问题(2)的预条件块Krylov子空间方法.刚性矩阵常常来自椭圆形偏微分方程或半扇形算子的空间离散,它们不仅是病条件的,而且具有很大的范数,标准的Krylov子空间方法求解这类问题通常是低效的,甚至是无效的,而一些有理的子空间方法往往能降低矩阵的条件数,起到预处理的效果.我们介绍整个算法的构造过程,提取了算法的误差级数展式,给出了三个具有不同特点的后验误差估计和三个紧凑的修正格式,数值实验表明了这些误差估计是有效的,能够准确地反应真实误差的变化特点,修正格式也能获得高的计算精度.一系列的数值比较表明,对于刚性矩阵,特别是当p较大的时候,我们方法的计算效率能明显地超过近些年文献中的一些典型算法.
[Abstract]:An effective numerical method for solving the initial value problem of semi - linear ordinary differential equations is presented in this paper . The error series expansion of the algorithm is extracted , three posterior error estimates with different characteristics and three compact correction formats are presented . The numerical experiments show that these error estimates are effective and can accurately reflect the variation characteristics of real errors . The numerical results show that the computational efficiency of the method can be significantly more than some typical algorithms in recent years for the rigid matrix , especially when p is larger .

【学位授予单位】：上海师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O151.21

【参考文献】