一类浅水波方程Cauchy问题解的性质研究

发布时间：2018-06-12 05:41

  本文选题：浅水波方程 + 弱耗散　； 参考：《大连理工大学》2016年博士论文

【摘要】：本文研究了一类浅水波方程Cauchy问题解的若干性质,包括局部适定性、爆破、整体强解的存在性以及整体弱解的存在性等.这些浅水波方程都来源于现代力学和物理学,是非线性科学中的重要研究对象,特别是在孤立子与可积系统领域里.论文结构如下：第1章简要介绍问题的背景以及研究现状.在第2章中我们考虑弱耗散广义μ-Hunter-Saxton方程的Cauchy问题,给出了局部适定性、强解的爆破准则和爆破率、解映射的H／o1der连续性、整体强解的存在性以及整体弱解的存在性.主要目的在于讨论自由参数矿和耗散参数五同时对解的爆破和整体存在性的影响.运用Littlewood-Paley理论或者Kato半群理论,我们首先证明方程对任意的初始值坳∈Hs(S),s3/2都是局部适定的.然后利用能量方法,根据参数σ-的符号讨论强解的爆破准则和爆破率.再给出最大存在时间丁关于|u0||Hs(S)的一个显式下界以及解的大小估计,并且证明方程的解映射在Hs(S),s≥2(装配着Hr(S)拓扑,0≤rs)中的Ho1der连续性.再者,根据两个系数A,σ取商的符号讨论整体强解的存在性.最后,利用粘性逼近法得到H1(S)中整体弱解的存在性,与以往工作不同的是,这里我们不需要利用Oleinik型估计.由于该估计在数值实验中很难验证,所以这种改进是有意义的.在第3章中我们讨论弱耗散广义两分量μ-Hunter-Saxton系统的Cauchy问题,给出了局部适定性、强解的爆破准则和爆破率、整体强解的存在性以及整体弱解的存在性.目的是讨论自由参数σ和耗散参数A在两分量情形中同时对解的爆破和整体存在性的影响.类似于第二章,我们首先给出方程在Hs(S)×Hs-1(s),s2/3中的局部适定性.再根据参数σ的符号讨论强解的爆破准则和爆破率,并且给出σ0时生命跨度的下界.最后通过构造Lyapunov函数给出0≤σ2时整体强解的存在性.在第4章中我们研究修正两分量Camassa-Holm系统高维情形的Cauchy问题.首先,运用Littlewood-Paley分析和输运方程理论,我们分别给出超临界和临界非齐次Besov空间中的局部适定性,从而直接可得Sobolev空间中的局部适定性.然后利用能量方法导出解的爆破准则.再考虑零密度极限以及零色散极限问题.最后给出稳态弱解的Liouville型定理.
[Abstract]:In this paper, we study some properties of the solution of Cauchy problem for a class of shallow water wave equations, including locally suitable definiteness, blasting, the existence of global strong solutions and the existence of global weak solutions, etc. These shallow water wave equations are derived from modern mechanics and physics and are important research objects in nonlinear science, especially in the field of soliton and integrable systems. The structure of the thesis is as follows: chapter 1 briefly introduces the background and research status of the problem. In chapter 2, we consider the Cauchy problem of weakly dissipative generalized 渭 -Hunter-Saxton equation. We give the local fitness, the blow-up criterion and the blow-up rate of strong solution, the H / O 1der continuity of solution mapping, the existence of global strong solution and the existence of global weak solution. The main purpose of this paper is to discuss the influence of free parameter ore and dissipative parameter five on the blasting and global existence of the solution at the same time. By using Littlewood-Paley theory or Kato semigroup theory, we first prove that the equation is locally suitable for any initial value depression 鈭，

本文编号：2008576