几类丢番图方程的研究

发布时间：2018-07-26 14:57

【摘要】：本文主要研究几类丢番图方程.文章主要由三部分构成.1.第一部分,我们研究了广义费马方程,得到了下面几个结论:(1.1)设素数p满足br+1 = 2pt,其中r,t,6为正整数,且6 = 3,5 (mod 8),则丢番图方程x2+bm=pn只有一组正整数解(x,m,n) = (pt-1,r,2t).进而,如果6 = q是奇素数,并且r = t = 2,则上述方程满足下述条件之一时只有一组正整数解,这里条件(i) q三3,5,7 (mod 8);条件(ⅱ)q ≡1 (mod 8)且d = 1或者d是偶数,其中d为素理想p在虚二次域Q((?))的理想类群中的阶,p|p.(1.2)令p≠q为两个素数,则除去q = 2的情况外,方程p2m-qn=z2至多有一组非平凡解(m,n,z).进而,丢番图方程x2m- yn=z2仅有有限组正整数解(x,y,z,m,n),其中xy是连续的两个素数.2.在第二部分,我们研究了乘法元上的加法性质,并得到了以下结果:(2.1)设K为一个代数数域,OK为其整数环.n是OK中的一个非零理想.任取剩余类环OK/n中元素a,定义(OK/n)* · a为a的一个轨道.首先,我们给出了任意两个轨道之和的轨道分解.其次,对两个轨道之和中的任意元素,我们得到了它在这两个轨道中不同分解个数的表达式.(2.2)我们给出了剩余类环上例外单位之和的表达式,并得到一个恒等式.3.在第三部分,我们考虑一类椭圆曲线E :y2 = x(x + 2tp)(x + 2tq),其中t为非负整数,p q为两个奇素数且满足q - p = 2s.我们给出了该椭圆曲线的秩与Shafarevich-Tate群(沙群)之间的关系.进而在BSD猜想成立的条件下,得到了一类椭圆曲线的秩.
[Abstract]:In this paper, we study several kinds of Diophantine equations. The article is mainly composed of three parts. In the first part, we study the generalized Fermat equation and obtain the following conclusions: (1) Let the prime number p satisfy br 1 = 2pt, where rn 6 is a positive integer, and 6 = 3N 5 (mod 8), then the Diophantine equation x 2 bm=pn has only one set of positive integer solutions (XM n) = (pt 1 n) 2t. Furthermore, if 6 = Q is an odd prime number and r = t = 2, then the above equation satisfies only one set of positive integer solutions for one of the following conditions, where (i) q 3 3 + 5N 7 (mod 8); condition (II) Q 鈮，

本文编号：2146380