几类抛物型方程（组）性质的研究

发布时间：2018-09-08 15:31

【摘要】：本文研究抛物型方程(组)的几种性质,包括解的局部存在性和唯一性,解的整体存在性,解的有限时刻爆破,解的生存跨度以及解的有限时刻熄灭等.第一章研究具有非齐次非局部边界条件的抛物型方程组解的整体存在和有限时刻爆破性质.这里Ω是RN(N≥1)中具有光滑边界的有界区域,参数p,q,r0. f(x,y),g(x,y)是定义在(?)Ω×Ω上的非负函数.初值函数(uo(x),v0(x))∈C2+α(Ω),其中α∈(0,1),u0(x),vo(x)≥0,(?)0,并且满足相容性条件.我们运用压缩映射和上下解的方法证明了如下结果：(i)假设p,q≤1,r≤1.对任意非负初值(u0,v0),解(u,v)是整体存在的.(ii)假设p,q1.如果r1且ho|Ω|Kmin{p,q}那么对于适当大的初值(u0,vo),解(u,v)在有限时刻爆破.(iii)假设p1q或q1p.如果pq1,r≤1,并且对任意x∈aΩ,有(?)Ωf(x,y)dy≤1,fΩg(x,y)dy≤1,那么对适当小的初值函数(u0,v0),解(u,v)是整体存在的.(iv)假设p1q或者q1p.如果pq1,r≥1,并且对任意x∈aΩ,有(?)Ω(x,y)dy≥1,(?)Ωg(x,y)dy≥1,那么对适当大的初值(u0,v0),解(u,v)在有限时刻爆破.第二章研究具有非线性非局部边界条件的反应扩散方程解的存在性和定性性质.其中参数p,q,l0,Ω是RN(N≥1)中具有光滑边界的有界区域,v是边界(?)Ω上的单位外法向量.c(x,t)是定义在Ω×[0,∞)上的正连续有界函数.k(x,y,t)是定义在(?)Ω×Ω×[0,∞)上的正连续有界函数.初值u0(x)∈C1(Ω),并且u0(x)≥0,≠0满足相容性条件：当x∈(?)Ω时,有(?)=(?)Ωk(x,y,0)uOl(y)dy.我们运用上下解的方法证明了如下结果：(i)假设p+q≤1,1≤1.对任意非负初值u0,解是整体存在的.(ii)假设p+q1,11.对适当小的初值u0,解是整体存在的.(iii)假设p+q1,10.对任意正的初值u0,解在有限时刻爆破.(iv)假设min(p,q)1,l0.对适当大的初值u0,解在有限时刻爆破.第三章研究非线性抛物型方程组解的生存跨度,其中常数p,q0,Ω是RN(N≥1)中具有光滑边界aQ的有界区域.入是正参数,函数φ(x)和φ(x)是Ω上的非负连续函数.我们借助于常微分方程的技巧和Kaplan的方法证明了如下结果：假设p,q0.如果初值φ,φ∈C(Ω)满足如下条件：那么(i)如果qMφpMφ,有(ii)如果qMφpMφ,有第四章考虑反应扩散方程的解的熄灭性质：其中0m1,p,q0.Ω是RN(N≥1)中的有界光滑区域,初值u0(x)∈ L∞(Ω)(?)W01,1+m(Ω)且u0(x)≥0,≠0.我们运用Lp范数分析法和常微分方程的技巧以及上下解的方法证明了下列结果：(i)假设p+qm.对任何非负初值u0,最大解U(x,t)不会在有限时刻熄灭.(ii)假设p+q=m,aμm,qA1.对任意非负初值u0,最大解U(x,t)不会在有限时刻熄灭,其中aμm,q在后面文中定义.(iii)假设p+qm.(a)当N2时,如果初值u0适当小,解在有限时刻熄灭.此外还有,若(N-2)/(N+2)m1,若0m(N-2)/N,其中C1,C2是常数,在后文中定义.(b)当N=1,2时,如果初值u0适当小,解在有限时刻熄灭.此外还有,(?)其中C3是常数,在后文中定义.
[Abstract]:In this paper, we study some properties of parabolic equations, including the local existence and uniqueness of the solution, the global existence of the solution, the finite time blow-up of the solution, the survival span of the solution and the finite time quenching of the solution, etc. In chapter 1, we study the global existence and finite time blow-up of solutions of parabolic equations with nonhomogeneous nonlocal boundary conditions. Here 惟 is a bounded region with smooth boundary in RN (N 鈮，

本文编号：2230937