拟抛物方程解的全局存在性与爆破性

发布时间：2018-09-19 13:10

【摘要】：本文我们将用非线性泛函分析中的临界点理论,变分法,Nehari流形等来研究如下拟抛物方程ut-a△ut-△u=f(u), x∈Q,t0,其中Ω是R~N中的开集.当a=0时,上述方程就是经典的热传导方程.当a=1时,作为拟抛物方程,它描述了许多重要的物理现象,如通过裂隙岩石的均匀流体的渗透,非线性长色散波的单向传播等.本文分六章.第一章主要介绍拟抛物方程的一些研究背景.国内外研究现状及本文的一些主要结果,在第二章中.我们将使用扰动的势井的方法研究下列具有一般源项的拟抛物方程初边值问题其中Ω是R~N中的有界光滑区域以及f满足如下条件：(f_1)f:R→R是连续可微的、且存在常数C0以及p∈(2,2*),使得|f'(u)|≤C(1+|u|~(p-2)),u∈R,这里当N≥3时,2*=2N/(N-2);当N=1,2时.2*=∞；(f_2)f(u)u0,u∈R|{0}且存在θ1.使得f(u)/|u|~θ在(-∞,0)以及(0,∞)上都是严格递增的.首先,我们证明了上述问题在条件(f_1)下解的局部存在唯一性.常用的证明解的局部存在唯一性的工具有Galerkin方法与半群理论.用Galerkin方法证明解的局部存在唯一性.不仅需要做一些复杂的先验估计,还需要证明一些收敛性.然而.利用这种方法仅能获得解的存在性并不能得到解的具体的表达式.与这种方法相比,使用半群理论虽然可以得到解的表达式.但必须通过较长的篇幅来验证相应的算子能够生成半群.在§2.2节中,通过使用椭圆正则性理论Sobolev嵌入以及Banach空间中的抽象常微分方程理论.我们得到了拟抛物方程初边值问题在条件(f_1)下解的局部存在唯一性定理.证明过程既避免了验证算子生成半群.又将解用一个不依赖于任何半群的新的积分形式重新表示出来.同时.我们还证明了两个重要的恒等式.定理2.1.4设f满足条件(f_1)以及u_0∈H_0~1(Ω),则问题(2.1.1)具有唯一的弱解u∈C1([0,T),H_0~1(Ω))且u具有如下积分表达式以及其中T是u的最大存在时刻.进一步,若T∞,则这里||u||12= ∫Ω[|%絬|2+u2],u∈H_0~1(Ω)此外,如下两个恒等式成立以及其中J,I分别是问题(2.1.1)的平衡态相应的能量泛函与Nehari泛函.在§2.3节中,我们讨论了问题(2.1.1)解的全局存在性与爆破性并证明了如下定理.定理2.1.5设条件(f_1).(f_2)成立,u_0∈H_0~1(Ω)以及u=u(x,t；u_0)是问题(2.1.1)的解而且其最大存在时刻记为T.若J(u_0)≤d,则下列结论成立：(ⅰ)若I(u_0)0,则T=∞,且对所有满足t0+[d-J(u_0)]0的t0∈R+=[0,∞),都存在ω=ω(t0)0,使得(ⅱ)若I(u_0)0,则T∞且u在T时爆破,即(ⅲ)若I(u_0)=0,J(uo)=d则u_0是问题(2.1.1)的不稳定的平衡解.定理2.1.5将Xu和Su在文献[78]中对具有纯幂源的拟抛物方程得到的结论推广到了具有更一般的非线性源的情形.在这个过程中：我们用到了一族扰动的泛函Iδ,流形Nδ以及下确界d(δ).通过利用隐函数定理,变分法以及Sobolev嵌入,我们首次证明了对所有的δ∈(0,(θ+1)/2),下确界d(δ)都是可达的.这个现象的发现有助于简化[78]中关于函数d(·)的单调性与连续性的证明.随后,利用定理2.1.5.我们证明了问题(2.1.1)的全局解的有界性与收敛性.定理2.1.7设条件(f_1)，(f_2)成立,u_0∈H_0~1(Ω)以及u=u(x,t；u_0)是问题(2.1.1)的一个全局解,则u在H_0~1(Ω)中有界,即u∈L∞(R+,H_0~1(Ω))进一步，存在{tn},c≥0以及u*∈Kc,使得tn→∞,且其中Kc={u∈H_0~1(Ω):J'(u)=0,J(u)=c}特别地,若u*是问题(2.1.1)的一个孤立的临界点,则在第三章中,针对定理2.1.5的结论,我们提出并解决了三个问题，同时还建立了保证拟抛物方程和抛物方程的解在有限时刻爆破的充分条件.第一个很自然的问题就是在不假设J(u_0)≤d的前提下,I(u_0)0能否仍保证问题(2.1.1)的解在其有限的最大存在时刻爆破?在§3.1节中,我们证明了对一类特殊的f(即f(u)=|u|~(p-2)u-u)答案是肯定的.进一步,通过将解决定的流与Nehari流形相结合,我们还获得了一个使得问题(3.1.1)的解在其有限的最大存在时刻爆破的充要条件.事实上,令N-={u∈H_0~1(Ω):I(u)0}则全空间H_0~1(Ω)可以分解为H_0~1(Ω)=S+uS-，其中S+={u_0∈H_0~1(Ω):u(t)(?)N-,t∈[0,T)}, S-={u_0∈H_0~1(Ω):存在t0∈[0,T),使得u(u_0)∈N_},这里字母S表示“源”.进一步,我们可以证明定理3.1.2(i)设u_0∈H_0~1(Ω)以及u=u(x,t；u_0)是问题(3.1.1)的一个解且其最大存在时刻为T,则T∞当且仅当u_0∈S-.换言之,T∞当且仅当存在t0∈[0,T),使得I(u(t0))0.(ⅱ)0是问题(3.1.1)的唯一的稳定的平衡解.与先前的结论不同,定理3.1.2的(i)给出了关于问题(3.1.1)的解的爆破性的一个尖利的判断准则.值得指出的是,这个准则不是真正依赖于初值，而是与解相应的轨道密切相关的.此外，注3.1.13证明了集合S-在由解u决定的流下是不变的.从这个意义上看,我们得到了解的爆破性和它的不变集有一定的联系,这是个有趣的现象.目前，这部分内容已被SCI核心期刊《Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics》接收.见[83].由于文献[15]证明了第一个问题的答案在对数源情形下(f(u)=ulog |u|)是否定的，我们不能期望对所有的f都证明I(u_0)0是拟抛物方程解在有限时刻爆破的充分条件.因此.第二个问题就出现了：对于具有一般的非线性源项的拟抛物方程.能否找到一个合适的泛函I来代替I,使得I(u_0)0能保证问题(2.1.1)的解在有限时刻爆破?当然，这里要求{u∈H_0~1(Q):I(v)0,J(v)≥d)≠(?)在§3.2节中.对问题(2.1.1)中(f_1),(f_2)成立的情形.我们证明满足上述条件的泛函是存在的,同时也给出了与第二章中不同的保证解在有限时刻爆破的充分条件.事实上.定义泛函I为其中μ=θ+1,v=λ1/(1+λ1)以及则下列结论成立.定理3.2.1设条件(f_1),(f_2)成立,u_0∈H_0~1(Ω)\{0},u=u(x,t；u_0)是问题(2.1.1)的解并记其最大存在时刻为T.若I(u_0)≤0,则T∞,且u在时刻T时爆破.上述两个问题都关注的是拟抛物方程,第三个问题是上述结论对于抛物方程是否仍然成立?因此，，我们在§3.3节中考虑了一类经典的热方程初边值问题(3.3.1)解的爆破性.首先,我们说明了定理3.1.2的结论对问题(3.3.1)不成立.然后.受§3.2节研究方法的启发,对问题(3.3.1),类似于定理3.2.1,我们获得了一个新的保证解在有限时刻爆破的充分条件，同时还得到了一个较大的爆破集.事实上，首先定义如下新泛函J*以及相应的流形N*这里λ1是算子一△在H_0~1(Ω)中关于齐次Dirichlet边界条件的第一特征值.进一步,定义集合其中V={u∈H_0~1(Ω):I(u)0,J(u)d}接着.我们对问题(3.3.1)建立了如下一个新的能够保证解在其有限的最大时刻爆破的充分条件.定理3.3.3若u_0∈B,则问题(3.3.1)的解u在其有限的最大存在时刻爆破.特别地,若J*(u_0)≤0,则解u在有限时刻爆破.根据[26,定理9]或[64,定理19.5,118页],V是问题(3.3.1)的一个爆破集.在§3.3节,我们证明了B比V严格大.因此,定理3.3.3改进了已有的关于抛物方程的爆破集的结论.这部分内容已发表于《Applicable Analysis:An International Journal》见[82].在第四章中.我们考虑了R2中一类具有指数源项的拟抛物方程初边值问题,即源项f满足如下条件与(f_2)：(f'1)f∈C1(R,R)且f满足次临界指数增长条件.即对每个β0都存在正常数Cβ,使得|f'(u)|,|f(u)|≤Cβeβu2,u∈R.根据条件(f_1')，源项f可以是一个指数函数.这样f在无穷远处不可能由幂函数控制住,即(f_1)不成立.因此.我们必须重新证明定理2.1.4,2.1.5,2.1.7以及定理3.2.1的结论对R2中问题(1.2)中(f_1')与(f_2)成立的情形仍然成立.定理4.1.3设条件(f_1')成立以及u_0∈H_0~1(Q)则问题(2.1.1)(也就是问题(4.1.1))具有唯一的弱解u∈C1([0,T),H_0~1(Ω))这里T是u的最大存在时刻.特别地,若T∞,则l此外.恒等式(2.1.11)与(2.1.12)仍然成立,且解u还具有一个不依赖于半群的积分表达式.定理4.1.4设f满足条件(f_1'),(f_2),u_0∈H_0~1(Ω)以及u=u(x,t;u_0)是问题(4.1.1)的一个弱解而且其最大存在时刻是T.若J(uo)≤d,则下列结论成立：(ⅰi)若I(u_0)0.则T=∞.且对所有满足t0+[d-J(uo)]0的非负数t0，都存在正常数ω=ω(t0),使得(ⅱ)若I(u_0)0,则T∞且u在T时爆破,即(ⅲ)若I(u_0)=0,J(u_0)=d则u_0是问题(4.1.1)的一个不稳定的平衡解.进一步,我们获得了如下一个保证具有指数型源项的拟抛物方程的解在有限时刻爆破的充分条件.定理4.1.5设f满足条件(f'1),(f_2),u_0∈H_0~1(Ω)\{0}若I*(u_0)≤0,则解u在有限时刻爆破,其中I*(u)=||u||12-u∫ΩF(u),u∈H_0~1(Ω).据我们所知,对具有指数型源的拟抛物方程的研究成果还很少,目前,第四章的内容已发表在《Communications on Pure and Applied Analysis》见[85].在第五章中,我们考虑了R3中一类带有非局部项的拟抛物方程的初边值问题其中Ω是R3中的有界光滑区域,p∈(2,6),a≥0,b=±1以及φu是按如下方式定义的非局部项这里G是由[23,§2.2.4(a),34页]给出的与区域52相应的格林函数以及对固定的x∈Ω.φx是满足如下边值问题的一个修正函数我们将使用扰动的势井的方法来研究上述非局部问题解的全局存在性与爆破性.注意到由于非局部项φ。的出现,问题(1.4)的解u依赖于其在整个Ω上的值.而不仅仅是一个逐点成立的方程.因此,我们不能直接利用§2.1节与§3.2节的结论.故我们有必要重新证明相应的结论对非局部拟抛物方程的初边值问题(5.1.1)仍然成立.首先.在§5.2节中.我们证明了问题(5.1.1)的解的局部存在唯一性定理仍然成立.定理5.1.2设u_0∈H_0~1(Ω),b=±1以及p∈[2,6],则问题(5.1.1)具有唯一的弱解u∈C1([0,T),H_0~1(Ω))其中T是u的最大存在时刻.此外.u具有下列积分表达式以及进一步,若T∞,则其次.在§5.3节中,我们证明了一个关于问题(5.1.1)解的全局存在性与爆破性的重要定理.定理5.1.3设u_0∈H_0~1(Ω),u=u(x,t；u_0)是问题(5.1.1)的解以及其最大存在时刻为T.并设正数p满足当b=-1时,p∈(4,6);当b=1时，p∈(2,6).若J(u_0)≤d,则如下结论成立：(ⅰ)若I(uo)0.则T=∞,且对所有满足to+[d-J(u_0)]0的t0∈R+,都存在ω=ω(to)0.使得(ⅱ)若I(u_0)0.则T∞且u在T时刻爆破,即(ⅲ)若I(u_0)=0,J(u_0)=d,则u_0是初边值问题(5.1.1)的不稳定的平衡解.在第五章最后一节,我们建立了问题(5.1.1)的解在有限时刻爆破的一个判别准则.令p=min{2,p/2}以及则下列结论成立.定理5.1.5设u_0∈H_0~1(Ω)\{0},p满足当b=-1时,p∈(4,6);当b=1时.p∈(2,6).若I*(u_0)≤0,则问题(5.1.1)的解在其有限的最大存在时刻爆破.在文献[32]中,Ianni通过先验估计的方法考虑了初边值问题(5.1.1)在a=0,b=±1以及p∈(4,6)时局部解和全局解的存在性.因此,第五章完善了文献[32]中的结论.目前,第五章的部分内容已发表在《Mathematical Methods in the Applied Science》,见[84].在本文的最后一章中,我们将研究如下R3中具有临界增长型源的非局部拟抛物方程的平衡解其中λ∈R+以及g满足如下条件：(g_1)g具有拟临界增长,即(g_2)g(u)u0,u∈R.9(u)/|u|3在(-∞,0)以及(0,∞)上严格增,且这里G(u)=∫0ug(s)ds,u∈R.通过使用扰动的方法,我们建立了上述问题的最小能量的平衡解的存在性,也就是证明了临界Schrodinger-Poisson系统(6.1.2)的基态解的存在性.第六章的主要结论是如下定理.定理6.1.1设条件(g_1),(g_2)成立,则存在λ00,使得当λ∈[0,λ0)时,系统(6.1.2)具有一个基态解.与文献[81]不同,在定理6.1.1的证明过程中.对λ0的情形,通过寻找相应的能量泛函Jλ的距离在J0的山路型临界点很近的非平凡临界点,我们证明了系统(6.1.2)基态解的存在性.这个过程不再需要验证泛函Jλ满足(PS)cλ条件,从而改进了[81]中的证明方法.
[Abstract]:......
【学位授予单位】：山西大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O175.26

【相似文献】