多沙河流的非恒定一维水沙数学模型及其应用

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第 !; 卷 第 8 期 4""$ 年 !! 月

水 科 学 进 展 7.*7EF=G HE I7%=J GFH=EF=

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多沙河流的非恒定一维水沙数学模型及其应用

钟德钰，彭 杨，张红武

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（清华大学水利水电工程系，北京

摘要：介绍多沙河流上非恒定一维水沙数学模型采用网格上流量与水位交错布置的方案，应用 %&’() *(+,(’,&- .,/,-0 （%*.） 格式求解基本方程， 模型具有守恒性好、无虚假振荡、算法简单的优点，克服了断面急剧变化时计算容 ,12,-3 易失稳的困难。同时，由于采用了适合于多沙河流的泥沙运动基本方程及相关参数，因此，该一维模型能够适应多 沙河流高浓度输沙及大幅度冲淤变化的特征，成功模拟了黄河干、支流上的洪水传播。 关 键 词：多沙河流；一维数学模型；交错网格；%*. 格式 文献标识码：7 文章编号：!""!089:! （4""$） "80"9"80";

中图分类号：%*!$456；%*!6654

一维水沙数学模型常用来模拟天然河道时间和空间尺度较大的水流、泥沙运动和河床冲淤变化。在数值格 式的研究中，近期具有代表性的研究成果是借鉴计算空气动力学中的优秀算法，获得的精度高、守恒性好的多

［!］ 种计算格式 。此外，对于与泥沙运动有关的基本方程的研究和改进上取得了较大进展，特别是多沙河流悬移 ［4］ ［6， ［;］ $］ 、水流的挟沙力 、动床阻力 等方面取得了重要成果。 质的不平衡输沙方程

如黄河及其支流等多沙河流，以洪水暴涨陡落且洪水过程中水流挟沙浓度高，河道断面宽深比大、河床冲 淤幅度大而著名。这就要求应用于这类河道的数学模型应具备：! 计算稳定，效率高；" 守恒性好；# 能够 模拟多沙河流特殊的高含沙输沙现象和河床冲淤。由于前两项是对模型数值方法的基本要求，应用近期发展起 来的高性能格式是十分合适的。但笔者的研究发现，对于河道断面面积、河宽急剧变化的多沙河流，简单套用 这些方法仍然会导致较大的计算误差，甚至计算完全失败。对比一维水流和气流运动方程可见，应用守恒型方 程求解一维水流运动时，水流运动方程右端存在反映河槽坡度所导致的加速度项，而这一项在气流运动方程中 是不存在的。在多沙河流中，断面上高程变化剧烈，而相邻断面间变化更大，，局部深槽的发生和消失非常频 繁，使两断面间深泓连线并不代表这一河段内真实河床坡度，当采用两断面间深泓线计算河槽坡度时，往往由

［8］ 于局部深槽的出现而过分夸大重力影响。特别是洪水漫滩后若用深泓线计算坡降带来更大的误差。谭维炎等

曾建议将压强项与重力项及河床反力合并为水面坡度，采用 %*. 格式进行计算，并对源项中的过水面积进行 特殊处理。但我们最近的计算发现，当断面宽度变化剧烈或者冲淤十分强烈的情况下，仍然出现数值不稳定的 现象。本文所介绍的多沙河流一维非恒定水沙数学模型就是基于前人的研究成果和经验，引入适合于多沙河流 的泥沙运动相关方程，对数值方法中存在的问题进行改进而得到。

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基本方程及数值方法

在宽浅河道的计算中，常将河槽加以概化后进行计算，但断面的概化多少具有任意性，因此本文介绍的模

型中并不对断面进行概化，描述一维水流运动基本方程仍然为

收稿日期：4""60":0!4；修订日期：4""$0"!0!" 基金项目：国家自然科学创新研究群体科学基金资助项目（;"44!:"6） 作者简介：钟德钰 （!:9" < ） ，男，甘肃金昌人，清华大学水利系副研究员，博士，主要从事泥沙运动力学、河流数学模型研

究。 =0/(,)： >2&-3?@A ’1,-32B(5 C?B5 D-

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钟德钰等：多沙河流的非恒定一维水沙数学模型及其应用

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!! # !$ & ’ （!） !" !% " !$ # ! ( # $ & # ! （ ) $ * )+ ）# , （"） ! !" !% 式中 ! 为过水面积； $ 为流量； ’ 为区间入流或分流流量； ( 为断面静水压强； , 为河床对水流的作用力在 % 方向的投影。 ) $ % &!-. /!% 为河床比降，其中 -. 为河床高程； )+ % 0 " $ ’ $ ’ / !" 1( / ) ，其中 1 为水力半径； 0 为 *+,,-,# 糙率系数。冲积河流的动床阻力与水流强度、床面形态有关。本文介绍的模型中，河槽部分值采用 ［.］ 根据大量室内外观测资料确定的动床阻力公式计算；滩地部分 0 值根据植被、地物情况而定。 王士强 如前文所指出的，多沙冲积河流两断面间深泓线往往不能反映真实的河床比降，同时又限于断面测量间距 大，确定准确的河床比降是非常困难的。为避免这一困难，可将压强项移到方程右端与河床比降、及河床反力 ［/］ 合并为水面比降，即可将方程改写为 " !$ # ! $ & * # ! !2 # ) （)） + !" !% ! !% 式中 2 为水位。 ［"］ 对于多沙河流的模拟，对悬移质输沙及其导致的河床冲淤计算是关键。本文介绍的模型采用张红武等 根 据黄河等多沙河流观测资料及室内试验总结出的半经验的输沙及河床变形方程，即 !!) # !$) & 3 （ ) " * +! ) ） （(） !""4 ! !" !% !-. （ )" * + ! ) ） （.） 56 & * 3! ! " " # !" ［)］ 式中 ) 、 )" 分别为悬移质含沙量和水流的悬移质挟沙力， )" 可采用适用于多沙河流的张红武公式 或本文第 ［(］ 一作者获得的输沙率型多沙河流挟沙力公式 计算； 4 为河宽；" 为沉速，对于多沙河流需考虑浓度修正； 5 6 为淤积物密度。 3! 、 + ! 为经验系数，分别为 #

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!0. ! (0/. 7" $ $0. "0/. 8 "

) " ) （4） +! & ) " 式中 $ 为混水卡门系数； 7 " 为摩阻流速； 8 为流速。 由于多沙河流中细颗粒泥沙，例如黄河中下游粒径小于 $0$". 55 的泥沙，常随水流强度、上游来流中细 颗粒浓度的变化而在冲泻质与床沙质间相互转化，且这类细颗粒往往占悬移质的主体，因此区分造床的床沙质 ［6］ 与不造床的冲泻质是十分重要的。在本文介绍的模型中采用笔者的理论公式 划分两者。由于该公式不仅反映 了水流强度对细颗粒在冲泻质与床沙质间相互转化的影响，而且考虑了来流中细颗粒浓度的影响，与实际情况 更为接近，应用表明采用该公式后，细颗粒冲淤计算精度有较大幅度提高，具体对比计算结果另文总结。 随着河床冲淤，床沙组成也相应发生调整。对于床沙级配变化的模拟，本文采用文献［4］介绍的方法计 算，同时对床沙分层记录以反映床沙级配的变化历史。 7 若令 9 &［ ! ， $， !) ， -. ］

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2 7 ［ . & ’ ，* # ! ! # )+ ， （ ) " * +! ) ） ，* 3! （ ) " * +! ) ） 3! /# 56 ］ !""4 !"" !% 则上述方程可写为向量形式： !9 # !, & . !" !% 对式 （6） ， 可采用一阶显格式有限体积法离散， 即 　 （6）

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" " ’ " #! & ) * & ! # +$ （#） !" % ! $ & ! ) *# ! $ " " ( ! 通常情况下流量 , 、水位 - 、含沙量 . 等均布置在河道断面上。但数 值计算表明，当河道断面沿程变化剧烈，水位变化幅度较大，河床冲

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淤幅度大的时候，利用动量方程计算流量时常出现锯齿状振荡现象， 即便采用谭维炎等建议的计算源项中过水断面面积的方法、水面坡降

［!， 6］ 采用迎风格式亦不能避免 。

经分析发现，这种现象是由于流量与水位均定义于单元中点，水

图! 变量在网格上的布置

面比降不能准确反映子河段压力、河道反力对动量输移的影响造成

［6］ $%&’! ())*+&,-,+. /0 1*)%*23,4 %+ 4.*&&,),5 &)%5 的。有鉴于此，本文模型对谭维炎等的方法 进行了改进，即将流量

与水位、含沙量交错布置，如图 ! 所示。 此时，动量守恒方程中水面坡度一项自然离散为 -0 ! & -0 " （!7） / # &/! % & !( !( 显然这样布置计算变量后，准确地反映了河段水面比降对动量输移的影响，避免了动量计算中水位微小振 荡所导致的流量锯齿状振荡的现象。同时河床高程、水位、含沙量定义在断面上，也使得河床冲淤变化易于计 算。式 （!7） （ /0 8 /0 8 ! ） 中面积" / 可用 1 " 计算。 ! （ )* # )* # ! & 2!!* ） （!!） " " 式中 2 为数值粘性系数。由于网格是交错布置的，质量守恒方程和动量守恒方程以及泥沙运动方程应在各自 的网格内确定界面通量。式 （#） 中 !’ 需满足 <’ $’ = 条件。

［!］ 数值通量采用 9:; 格式计算 ，即

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对于边界的处理，在本文的模型中边界处采用特征格式计算，即 53 （ . 7 & .4 ） （!"） % &/ 5’ 式中 3 为 >%,-*++ 不变量。这里需要注意的是，边界处河床比降仍需要小心处理，否则边界处计算的不稳定 会影响整个计算域。根据作者的计算经验，可采用 ?*++%+& 公式对边界处由式 （!"） 计算得到的水位或流速进行 校正， 实际计算表明这样的处理是可行的，而且误差也很小。 为了说明本文格式对断面急剧变化时的适应性，计算了断面急剧收缩然后放大情况下的水流运动。图 " 所 示分别为 , 、 - 交错布置与非交错布置，明渠过水断面突然缩小时两种方法计算结果的对比。计算中渠道底 坡为零，断面为矩形明渠，除 ( @ 6 777 - 处渠宽为 !7 - 外，其余各断面宽度为 !77 -。对比两图可见交错网格 有效地改善了计算精度，流量未出现振荡现象。

（ *）交错网格 9:; 格式计算结果

（2）非交错网格 9:; 格式计算结果

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, 、 - 非交错布置与交错布置计算结果对比

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