素变量三元二次型与Maass尖形式傅里叶系数的混合问题

发布时间：2018-10-16 18:59

【摘要】：许多学者都对三元二次型m12+m22+m32的性质非常感兴趣。设x是一个正实数。在1963年,Vinogradov [19]和陈景润[4]分别独立地研究了三维球u12+u22+u32≤x中的格点个数问题,并且得到了以下渐近公式后来,上式余项中的指数2/3被Chamizo和Iwaniec [2]改进到29/44,后又被Heath-Brown[8]改进到21/32。最近,一些学者开始用不同的方法研究关于三元二次型的问题。令π3(x)表示满足下面条件的整数点的个数,(m1, m2, m3) ∈ Z3 且 m12+ m22 +m32= p ≤x.Friedlander 和 Iwaniec [5]证明了π3(x)～4π/3 x3/2/logx.这个结果可以看作是素数定理的一个推广。令∧(n)表示von Mangoldt函数,即郭汝庭和翟文广[6]研究了下述和式的渐近公式,S(x):=∑ ∧(m12+ m22 + m23)m12 +m22 +32≤x并且得到S(x) = 8C3I3X3/2 + O(x3/2log-A x),其中A 0是一个固定的常数,且令f是在SL2(Z)上的Maass尖形式,其拉普拉斯特征值是1/4+υ2。将f正规化,令其傅里叶系数首项为1,那么f的傅里叶展开式为其中Ks(y)是K-Bessel函数,s=1/2+it。然后,我们定义关于f的L-函数为该级数在 Re s 1 时是收敛的(见[12])。应用 K. Chandrasekharan 和 R. Narasimhan[3]中的一个定理,我们可以得到∑[λ(n)|2x.. (1.1)n≤x根据这个上界和柯西不等式,我们有∑|λ(n)|(∑|λ(n)|2)1/2(∑12)1/2x (1.2)n≤x n≤x n≤x(1.1)和(1.2)式中的这两个结果将会在我们接下来的证明中用到。2015年,胡立群[9]研究了下述和式的渐近公式T(x) := ∑ λ(m12 + m22 +m32)∧( m12+m22+m32)m12+m22+m32≤x并且证明出T(x) x3/2 logc x,其中c 0是一个常数。2016年,G. Zaghloul[22]改进了胡的结果,他证明了T(x)x3/2 exp(-c(?)),其中c是一个大于0的常数。1938年,华罗庚[10]证明出几乎所有满足n≡3( mod 24)且n(?)0( mod5)的整数都可以写成三个素数的平方和。后来,很多学者得到了关于三素数平方和的例外集问题的结果(见[1],[13], [15],[17]等)。在本文中,我们将根据上述结果来研究与T(x)相似的问题,并且可以得到以下结果。定理1.令丌λ,∧(x)=∑ λ(p12 +p22+ p32)∧(p12 +p22+ p32).p12+p22+p32≤x那么我们有πλ,∧(x) = O(x3/2 exp(-c(?)),其中c是一个大于0的常数。定理 2.当 k≥3 且 s min{2k-1, k2 + k - 2}时,令S(x) = ∑λ(m1k + …+msk)∧(m1k+ …+ msk).m1k+…+msk≤x那么我们有S(x) = O(xs/k exp(-c'(?))),其中c'是一个大于0的常数。定理3.当s ≥ 3时,令π∧(x)=∑∧(m12+…+m2s).m12+…ms2≤x那么我们有π∧(x) = 2sCsIsxs2/s+ O(x2/s log-Ax),其中A是一个大于0的常数,且为了证明以上定理,我们将采用经典的圆法。由于我们不知道关于Maass尖形式的Ramanujan猜想是否成立,所以只能用Maass尖形式的傅里叶系数的均值估计。
[Abstract]:Many scholars are very interested in the properties of ternary quadratic form m 12 m 22 m 32. Let x be a positive real number. In 1963, Vinogradov [19] and Chen Jingrun [4] independently studied the number of lattice points in three dimensional ball U12 U22 U32 鈮，

本文编号：2275329