低维紧致连通李群上平移作用的拓扑共轭分类

发布时间：2018-10-20 08:29

【摘要】：本文的主要内容涉及到拓扑动力系统领域中两大重要分支——旋转理论与拓扑共轭.文章应用了李群理论中极大环面的相关知识.结合已有的对n维环面Tn上旋转的旋转向量的定义方式.定义了一些紧致连通李群上极大环面中的元素所诱导的平移作用的旋转向量.并且利用旋转向量给出了这些平移作用的拓扑共轭的完全分类,进而给出了这些李群上所有平移作用的拓扑共轭的完全分类.文章重点着眼于拓扑维数为3或4的非交换的紧致连通李群,即李群SU(2), U(2), S0(3), SO(3) x S1, SpinC(3),以及这些李群上的左作用(右作用的相关结论与左作用完全一致).我们分别定义这五类非交换的紧致连通李群上由极大环面中的元素所诱导的左作用的旋转向量,并且利用旋转向量给出了这些左作用的拓扑共轭分类.进而给出了这些李群上所有左作用的拓扑共轭的完全分类.首先,设G是一个紧致连通李群.若取定G的一个极大环面%,则对任意的g∈G,都存某个t∈TG,使得9与t共轭,进而左作用Lg与Lt拓扑共轭.接下来给出本文的主要结论：(1)对于李群SU(2)：取定SU(2)的一个极大环面可知并且取同构φ：Tsu(2)→S1,定义为那么,对任意Lg∈MTsu(2),左作用Lg作用在极大环面Tsu(2)上等价于S1上的一个旋转这样,对任意Lg∈MTsu(2),定义那么,对于左作用Lg,Lg'∈MTsu(2),Lg与Lg'拓扑共轭当且仅当根据上述等价关系,我们就可以给出SU(2)上所有左作用的拓扑共轭分类.进一步,我们也证明了SU(2)上左作用的拓扑共轭分类等价于代数共轭分类,同时也等价于光滑共轭分类.(2)对于李群U(2),取定U(2)的一个极大环面易知并且取同构φ：Tu(2)→S1,定义为那么,对任意Lg∈MTu(2),左作用Lg作用在极大环面Tu(2)上等价于T2的一个旋转这样,对任意的Lg∈MTU(2),定义那么,对于左作用Lg,Lg'∈MTU(2),设则Lg与Lg,拓扑共轭当且仅当根据上述等价关系,我们就可以给出U(2)上所有左作用的拓扑共轭分类.进一步,我们也证明了U(2)上左作用的拓扑共轭分类不等价于代数共轭分类,但其等价于光滑共轭分类.(3)对于李群SO(3),因为SU(2)是SO(3)的覆盖空间,则根据(1)中选取的极大环面Tsu(2),取定SO(3)的一个极大环面Tso(3),使得Tso(3)恰好是Tsu(2)在覆盖映射下的像.那么,根据覆盖映射丌：SU(2)→SO(3)的性质,可知TsO(3)中的元素可以表示为其中θ∈[0,1).因此,并且取同构φ：Tso(3)→S1,定义为那么,对任意Lg∈MTdo(3),左作用Lg作用在极大环面Tso(3)上等价于S1上的一个旋转这样,对任意的Lg∈MTSO(3),定义那么,对于左作用Lg,Lg'∈MTSO(3),Lg与Lg'拓扑共轭当且仅当根据上述等价关系,我们就可以给出SO(3)上所有左作用的拓扑共轭分类.进一步,我们也证明了SO(3)上左作用的拓扑共轭分类等价于代数共轭分类,同时也等价于光滑共轭分类.(4)对于李群SO(3)×S1,因为U(2)是SO(3)×S1的覆盖空间,则根据(2)中所选取的极大环面TU(2),取定SO(3)×S1的一个极大环面TSO(3)×S1,使得TSO(3)×S1恰好是TU(2)在覆盖映射下的像.又因为TSO(3)×S1(?)TSO(3)×S1,并且根据覆盖映射π：U(2)→SO(3)×S1的性质,可知TSO(3)×S1中的元素可以表示为(u,λ),其中因此,并且取同构φ：TSO(3)×S1→T2,定义为那么,对任意Lg∈MTSO(3)×S1,左作用Lg作用在极大环面TSO(3)×S1上等价于T2上的一个旋转这样,对任意Lg∈MTSO(3)×S1,定义那么,对于左作用L。,Lg'∈MTso(3)xs1,设则Lg与Lg'拓扑共轭当且仅当根据上述等价关系.我们就可以给出SO(3)×S1上所有左作用的拓扑共轭分类.进一步,我们也证明了SO(3)×S1上左作用的拓扑共轭分类等价于光滑共轭分类.(5)对于李群Spinc(3),因为U(2)是Spinc(3)的覆盖空间,财根据(2)中选取的极大环面Tu(2),取定Spinc(3)的一个极大环面TSpinC(3),使得TSpinc(3)恰好是Tu(2)在覆盖映射下的像.设φ：Tu(2)→T2是(2)中定义的同构,π：U(2)→Spinc(3)是覆盖映射,π'是T2到其自身的2重覆盖映射,定义为显然地,π和π'均是群同态,并且那么,存在一个由φ,π和π'所诱导的同构φ'：TSpinc(3)→T2,使得因此,我们选取(TSpinc(3),φ')作为极大环面TSpinc(3)的一个表示,故那么,对任意Lg∈MTspinc(3),左作用Lg作用在极大环面TSpinc(3)上等价于T2上的一个旋转这样,对任意的Lg∈MTspinc(3),订义那么,对于左作用Lg,Lg'∈MTspinc(3),设则Lg与Lg',拓扑共轭当且仅当根据上述等价关系,我们就可以给出Spinc(3)上所有左作用的拓扑共轭分类.进一步,我们也证明了Spinc(3)上左作用的拓扑共轭分类等价于光滑共轭分类.已知交换的紧致连通李群均同构于Tm,所以这些李群上的每个左作用均等价于Tn上的旋转,而Tn上旋转的拓扑共轭的完全分类已经通过旋转向量给出.这样,结合本文的结论,拓扑维数小于或者等于4的紧致连通李群上平移作用的拓扑共轭分类问题已经全部解
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【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O152.5;O189

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本文编号：2282605