除数问题的若干变种

发布时间：2018-11-12 19:55

【摘要】：Dirichlet除数函数d(n)=(?)1,其和函数为D(x)=(?)d(n).它们是数论中非常重要的算术函数,与许多著名的问题密切相关,长期以来人们对其作了大量研究.本文将关于其两个推广形式给出一些结果.记d(n;r1,q1,r2,q2)为满足n=n1n2,ni≡ri(mod qi) (i=1,2)的分解个数.假定x≥(q1q2)1+ε, 1≤Ti≤qi,(ri,qi)=1(i=1,2),令△(x;r1,q1,r2,q2)为d(n;r1,q1,r2,q2)的和函数的余项.本文给出了 △(x;r1,q1,r2,q2)的均值和符号变换的一些估计,并证明了存在一个充分大的常数C,对于任意一个非常大的常数T,△(q1q2x;x;r1,q1,r2,q2)在区间[T,T+C(?)]内变号,同时,对于一个非常小的常数c',区间[T,2T]内存在无穷多个长度为c(?)log-1T的小区间,使得±△(q1q2x;r1,q1,r2,q2)c5x1/4恒成立.记S(x;a1/q1,a2/q2)=∑'mn≤xcos(27πma1/q1)sin(27πna2/q2),其中x≥(q1q2)1+ε,1≤ai≤qi,(ai,qi =1 (i = 1,2).通过将其与带同余条件的除数函数相联系,我们得到它的上界及一些均值估计.在此基础上,我们又对S(x;a1/q1,a2/q2)的符号变换做出估计,证明存在一个充分大的常数C,对于任意一个非常大的常数T,S(x;a1/q1,a2/q2)在区间[T,T+C(?)]内变号,同时,对于一个非常小的常数c',区间[T,2T]内存在无穷多个长度为c(?)log-7T的小区间,使得±S(t;a1/q1,a2/q2)c5(q1q2)3/4t1/4总成立.
[Abstract]:The Dirichlet divisor function d (n) = (?) 1, and its sum function is D (x) = (?) d (n).) They are very important arithmetic functions in number theory and are closely related to many famous problems. In this paper, we give some results about its two generalizations. Let d (n ~ (1) n ~ (2) be considered as the number of decomposition. Suppose x 鈮，

本文编号：2328061