几类非线性椭圆方程在加权Sobolev空间中解的研究

发布时间：2018-11-14 09:51

【摘要】：近几十年来,数学工作者十分关注一些偏微分方程解的存在性、唯一性、正则性等方面的问题,尤其是对非线性椭圆方程解的研究.本文在加权Sobolev空间框架下,讨论了几类常指数和变指数情形下的椭圆方程解的存在性与非存在性,研究的内容包括非线性退化椭圆方程解的存在性与非存在性、带有退化强制项的椭圆方程重整化解和熵解的存在性、带有零阶项的非线性p(x)-Laplace方程重整化解和熵解的存在性以及一般的非线性椭圆方程熵解和重整化解的存在性.第一章是绪论部分,我们叙述了本文所研究问题的背景和国内外的相关研究工作,并阐述了我们所要讨论的问题以及所使用的方法,并介绍加权Sobolev空间的一些知识.在第二章中,我们在加权Sobolev空间中研究一类非线性椭圆方程Dirichlet边值问题弱解的存在性与非存在性.这里,Ω是RN(N≥2)中的有界区域,右端项μ=f-divF,其中f∈L1(Ω),(?)是一个在Ω上几乎处处严格正的可测权函数向量,(?)满足记W01,p(Ω,ω)为所有实值函数u ∈Lp(Ω,ω0)所构成的空间,1p∞,其弱导数满足赋予如下的Luxemburg范数此外,a,g满足以下假设:(A1)a(x,s,ξ)= {ai(x,s,ξ)}1≤i≤N:Ω× R×RN→RN 是一个 Caratheodory 向量值函数且对任意的s∈R,几乎所有的x∈Ω和每一个ξ∈RN,满足其中κ(x)是Lp'(Ω)中的一个非负函数,1/p+1/p'=1,σ为权函数,c0,c1为正数.(A2)g(x,s,ξ）是一个Caratheodory函数,对任意的s∈R,几乎所有的x∈Ω和一个ξ ∈RN,存在h,ρ0,使得成立.另外,g满足下面的增长性条件其中b:R+→R+是一个连续的增函数,d(x)是L1(Ω)中的非负函数.在第二章第一部分中,对于问题(1)弱解存在性的研究,区别于其他文献主要有两个方面.第一,我们是在加权Sobolev空间中考虑问题(1),这时的嵌入关系发生了很大的变化.第二,在其他文献中g通常满足如下的符号条件:对几乎处处的x∈Ω,每一s ∈ R,以及所所有ξ∈的RN,有我们所要求g所满足的符号条件(2)与(4)区别在于:条件(4)是对每一个s ∈ R都成立,而我们所要求的条件(2),只需当|s|≥h(也就是|s|充分大)时,条件(2)成立即可,对于当|s|时,符号条件是否成立我们不做要求.为此,我们首先对问题(1)做截断逼近,从而得到问题(1)的逼近问题.其次,考虑到符号条件(2),我们不能再选取类似于其他文献的检验函数去估计逼近解序列um,而是通过构造了一个新的检验函数得到逼近解序列un的先验估计.最后,构造适当的检验函数得到逼近解序列强收敛并对逼近问题求极限,得到如下的弱解存在性结果:定理1.(弱解存在性)假设(A1),(A2)成立,则问题(1)至少存在一个弱解u.在第二章的第二部分中,当方程的右端项仅仅是一个有界Radon测度μ∈Mb(Ω)时,通常的办法是将测度进行分解,μ = μ0 + λ.定理1的结果表明当λ = 0,μ = μ0 =f-divF时,问题(1)存在弱能量解.若设μ0 = 0,那么μ=λ关于p-容量集是奇异的,这时问题(1)的解会发生怎样的变化?为此,我们利用测度理论,证明了该问题的非平凡解不能由逼近问题解序列求极限得到,即若un在W01,p(Ω，ω)弱收敛于u,其中u是问题(1)的解,则u≡0,其结果如下:定理2.(非存在性结果)设E是Ω中的Borel集,满足capp(E,Ω)=0,λ∈Mb(Ω)是集中在E上的正测度,fn是L∞(Ω)中的非负函数序列满足,g满足条件(3),(4).设un是逼近方程的弱解,则存在κ0(与g,c0有关),使得进而,un在W01,p(Ω,ω)弱收敛于0,且在第三章第一节中,我们在加权Sobolev空间中考虑了一类带有退化强制项和低阶项的非线性椭圆问题这里,Ω是RN(N≥2)中的有界区域,γ0,f∈L1(Ω),W01,p(Ω,ω),为加权Sobolev空间,ω(x)为权函数,1p∞.此外,a,g满足如下的假设:(A3)a(x,ξ)= {ai(x,ξ)}1≤i≤N:Ω×RN →RN是Caratheodory 向量值函数,满足其中k(x)是LpL(Ω)中的一个正函数,1/p+1/p'=1,α,β为正数.(A4)g(x,s)是一个Caratheodory函数,对几乎所有的x∈Ω和每一个s ∈ R,有我们主要借助于截断方法研究问题(5)在W01,p(Ω,ω)中重整化解的存在性.强制性的缺失,低阶项的存在(仅有部分增长性条件),右端项可积性不高等困难,导致我们无法同第二章一样去估计逼近解序列un.为此我们采用Marcinkiewicz估计,在得到逼近解序列的截断函数TkTun)先验估计的基础上,证明出逼近解序列un依测度收敛,再通过抽子列的方式得到子列的几乎处处收敛,并选取适当的检验函数对逼近解序列做出合适的估计,最后通过取极限的方式,得出问题(5)重整化解的存在性,其结果如下:定理3.(重整化解存在性)假设(A3),(A4)成立,f ∈L1(Ω),则问题(5)至少存在一个重整化解u.下面我们将在加权变指数Sobolev空间中研究非线性椭圆问题的重整化解或熵解的存在性.我们先介绍有关加权变指数Sobolev空间的定义.加权的变指数Lebesgue空间Lp(x)(Ω,ω),它是由所有满足以下形式的可测函数组成赋予范数加权的变指数Sobolev空间Wk,p(x)(Ω,ω):对任意的正整数κ,记赋予范数为权函数ω(x)及变指数p(x)的假设如下：p(x)满足log-Holder连续性条件.第三章的第二节中，我们在加权变指数Sobolev空间中研究了一类带有退化强制项和零阶项的非线性p(x)-Laplace方程这里，Ω(?)RN(N≥2)是具有Lipschitz边界(?)Ω的有界区域，γ(x)∈C(Ω),γ(x)≥0,ω(x)为权函数，f是L1(Ω)中的可测函数，g满足如下假设:(A7)g(x,s)是一个Caratheodory函数，对几乎处处的;x∈Ω和任意的s∈R,有g(x,s)·s≥0,首先，方程第一项-div(?)不是强制的，导致我们无法在经典意义下找到问题(6)的弱能量解.其次，我们考虑了一个仅满足部分增长性条件的零阶项同时右端项f仅在L1(Ω)中，，而不是在W-1,p'(x)(Ω)中.所有这些特征使得我们不能直接使用经典的对偶理论和非线性单调算子理论.因此,我们主要采用截断方法，运用加权变指数Sobolev空间的嵌入关系，并选取合适的检验函数，通过对逼近解序列求极限的方式，得到问题(6)熵解的存在性.这部分的结果如下：定理4.(熵解的存在性)假设(A5),(A6),(A7)成立,f是中的可测函数,则问题(6)至少存在一个熵解.在第四章中，我们在加权变指数Sobolev空间W01,p(x)(Ω,w)中研究一类非线性p(x)-Laplace方程这里,Ω(?)RN(N≥2)是具有Lipschitz边界(?)Ω的有界区域,ω(x)为权函数,f是L1(Ω)中的可测函数,g满足假设条件(A7).这一章我们依然采用截断方法对逼近方程做估计,但与常指数情形有很多不同.首先,经常运用的De Giorgi迭代,以及选用恰当的检验函数能够得出的逼近解序列un在L∞(Ω)中一致有界在这里是我们无法实现的.为了克服这个困难,我们运用了变指数的Marcinkiewicz估计,同时利用加权变指数Sobolev空间的一些嵌入,不仅可以得到逼近解序列un的几乎处处收敛,还可以帮助我们处理方程的零阶项.并且通过选取合适的检验函数及对逼近问题求极限,证明出问题(5)重整化解和熵解的存在性,其结果如下:定理5.(重整化解和熵解的存在性)假设(A5),(A6),(A7)成立,f是L1(Ω)中的可测函数,则问题(5)至少存在一个重整化解和一个熵解.在第五章中,我们在加权变指数Sobolev空间中研究如下的非线性椭圆问题这里,Ω(?)RN(N≥2)是具有Lipschitz边界(?)Ω的有界区域,φ∈C0(R,RN),f∈L1(Ω),为加权Sobolev空间,ω(x)为权函数.此外,a,p满足以下假设:是一个Caratheodory向量值函数,对几乎处处的x∈Ω和所有有((s,ξ)∈R×RN 满足不等式其中k(x)是Lp'(x)(Ω)中的一个非负函数,α,β为正数.(A9)g:Ω×R×RN→R是一个Caratheodory函数且对几乎处处的x∈Ω,任意的s∈R和所有的ξ∈RN,满足不等式其中b:R+→ R+是一个连续且非增的函数,c(x)是L1(Ω)中的非负函数.我们在加权变指数Sobolev空间框架下研究了一类非线性椭圆问题熵解的存在性.首先,权函数的引入给本问题的解决带来了一定的困难,尤其是在空间的嵌入方面.其次,函数多没有任何增长条件,即使作为一个分布来讲,方程中的这一项可能没有意义.同时右端项可积性不高,这些让我们无法寻找到问题(8)的弱能量解.因而我们考虑问题(8)的熵解和重整化解,主要借助于加权变指数Sobolev空间的嵌入关系,并选取合适的检验函数,得出Tk(un)的强收敛,通过取极限的过程我们得到了问题(8)熵解的存在性.紧接着,我们又证明出熵解u同时也是问题(8)的重整化解,其主要结果如下:定理6.(熵解的存在性)假设(A5),(A6),(A8),(A9)成立,f∈L1 Ω F ∈W-1,p'(x)(Ω,ω),那么问题(8)至少存在一个熵解.定理7.(重整化解的存在性)假设(A5),(A6),(A8),(A9)成立,f∈L(Ω),F ∈W-1,p'(x)(Ω,ω*),则熵解u∈W01,p(x)(Ω,ω)是问题(8)的一个重整化解。
[Abstract]:......
【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O175.25

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