变系数分数阶扩散方程的混合型Galerkin变分格式和快速算法

发布时间：2018-11-25 15:30

【摘要】：本文我们考虑的是如下2 - β (0 β 1)阶分数阶扩散方程,-(θ0D1x-β+ (1 - θ)xD11-β)(K(x)Dc) =f,x∈Ω = (0,1),(0.0.1)c(0) = c(1) = 0.这里未知函数c表示污染物的浓度,K(x)是扩散项系数,有正的上下界0 Kmin K(x) Kmax +∞ ,x ∈ (0, 1),f j L2(Ω)是源项或汇项,0 ≤ θ ≤ 1表示粒子向前相对于向后转移的概率.D = d/dx是一阶导数算子,0D1-βx和xD1-β1分别表示1 - β阶的左、右Riemann-Liouville分数阶导数算子.本文通过引入通量函数u =-K(x)Dc作为中间变量,对变系数双边分数阶扩散方程推导了一种混合型Galerkin变分形式,在空间H10(Ω)×H1-β/2(Ω)上证明变分解的存在唯一性.在对解有一定正则性假设下,建立了(0.0.1)和变分形式的等价性.然后基于混合型Galerkin变分格式的好的性质的基础上,在通常所用的有限元空间上推导了混合型有限元离散格式,并且证明有限元解的存在唯一性以及给出未知函数和中间变量的误差估计.由于分数阶微积分算子的非局部性,由分数阶扩散方程的数值方法产生的系数矩阵通常为满阵或稠密矩阵.传统的求解方法需要O(N3)的计算量和O(N2)的存储量,其中N为网格节点.在对混合型有限元格式求解过程中,我们发现混合有限元格式所形成的系数矩阵具有特殊结构.系数矩阵由四个分块小矩阵构成,其中一个零阵、两个三对角的稀疏矩阵以及一个具有Toeplitz-like结构的矩阵.通过引入快速傅里叶变换,结合共轭梯度法我们构造出了每次迭代计算量为O(N log N)以及相应的存储量为O(N)的快速共轭梯度法.同样的,为了减少迭代次数,我们又对快速共轭梯度法做了进一步的改进,引入了预处理技术,构造了预条件快速共轭梯度算法,减少了迭代次数,同时保证了收敛精度.并且我们可以证明预条件的快速算法的总计算量仍然为O(N log N).本文提供的数值算例也验证了该快速算法的良好性质.
[Abstract]:In this paper, we consider the following fractional diffusion equations of order 2- 尾 (0 尾 1)-(胃 0D1x- 尾 (1- 胃) xD11- 尾) (K (x) Dc) = fnx 鈭，

本文编号：2356602