Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式、Nash不等式、Isoperimetric不等式之间的相互

发布时间：2018-12-21 11:08

【摘要】：该文研究偏微分方程中三个重要的不等式:Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式,Nash不等式和Isoperimetric不等式.对于这三个不等式的证明,该文主要运用偏微分方程的思想.具体来说,该文用拉普拉斯方程的基本解引入位势证明Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式;运用热方程的Poisson公式证明Nash不等式;运用一个关于拉普拉斯算子的Poisson方程的解逼近Isoperimetric不等式.另一方面,这三个不等式有某种意义下的等价性.首先,该文证明L1形式的Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式等价于Isoperimetric不等式;其次,该文证明了 L2形式的Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式等价于Nash不等式.最后,该文找到了一种推广了的Nash不等式即Lp(1pn)形式的Nash不等式,并证明它等价于1pn的 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式.
[Abstract]:In this paper, we study three important inequalities in partial differential equations: Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality, Nash inequality and Isoperimetric inequality. For the proof of these three inequalities, this paper mainly uses the idea of partial differential equation. In this paper, Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality is proved by introducing the fundamental solution of Laplacian equation, Poisson equation of heat equation is used to prove Nash inequality, and the solution of Poisson equation of Laplacian operator is used to approximate Isoperimetric inequality. On the other hand, these three inequalities are equivalent in some sense. Firstly, this paper proves that Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality in L1 form is equivalent to Isoperimetric inequality, and then proves that Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality in L2 form is equivalent to Nash inequality. Finally, we find a generalized Nash inequality, that is, Nash inequality in Lp (1pn) form, and prove that it is equivalent to 1pn's Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality.
【学位授予单位】：华中师范大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O175.2

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本文编号：2388828