五阶mKdV方程的低正则性

发布时间：2019-01-02 19:00

【摘要】：本文主要研究五阶mKdV方程的低正则性。考虑如下Cauchy问题针对u0∈ Hs(R)和u0∈ Hs(T)的不同情形,我们将分别探讨(0.0.1)在Hs(R)和Hs(T)中的整体适定性。低正则性属于适定性理论的范畴,是非线性色散方程研究中的基本问题。处理它的基本工具是Fourier截断方法和I-方法与多线性乘子理论。第一章是绪论部分,介绍了经典色散方程低正则性的研究进展,引进了一些记号并罗列了相关的定义及引理。第二章考虑R的情形下,Cauchy问题(0.0.1)在负指数Sobolev空间Hs(R)中的整体适定性。我们利用第一代I-方法和多线性乘子理论证明了当s-22/3时,(0.0.1)在Hs(R)中是整体适定的。首先基于三线性估计和压缩映射原理,我们得到局部适定性的一个变体;其次引入第一代修正能量并将其增量改写成多线性乘子的形式;再次在Bourgain空间中作多线性乘子估计,导出修正能量的增量具有N-1/2形式的界,从而得到了几乎能量等式;最后通过scaling变换和迭代技术获得整体适定性。第三章致力于研究周期Cauchy问题(0.().1)在能量层次以下的Hs(T)中的整体适定性。我们采用第二代I-方法证明了当s 1时,(0.0.1)在Hs(T)中整体适定。本章的难点和创新之处在于:其一是待定乘子M4的结构较为复杂,需要作细致的频率分类讨论才能得出乘子的上界估计;其二是在修正的Bourgain空间Ys中作多线性估计时,我们依据频率的不同情况证明了一个加细版本的三线性估计,并利用它导出了第二代修正能量的增量具有N-2形式的界,进而也得到了几乎能量等式。 。第四章对具有零初值的四阶Schr(?)dinger方程和Beam方程分别建立了额外Strichartz估计。基于Foschi关于Schr(?)dinger方程的额外Strichartz估计的讨论,我们利用Kenig-Ponce-Vega发展的驻相分析方法分别得到了高频和低频所满足的额外Strichartz估计式,再根据Littlewood-Paley理论得出结论。第五章总结全文,并介绍了耦合方程组的低正则性、非线性Schr(?)dinger方程在各种特殊流形上的适定性等后续研究工作。
[Abstract]:In this paper, we study the low regularity of fifth order mKdV equation. Considering the following Cauchy problem for the different cases of u 0 鈭，

本文编号：2398863