几类非线性分数阶微分系统初边值问题解的研究

发布时间：2019-01-16 07:38

【摘要】：分数阶微积分理论已经有近四个世纪的发展历程.起初由于和经典的整数阶微积分体系在很多方面存在矛盾,且又缺乏实际背景的支持,所以一直处于进展缓慢的初始阶段;在数学家Mandelbrot指出自然界存在大量分数阶的事实以后,分数阶理论又步入了进展加速的转折时期；随着分数阶学术专著的出现,学术会议的召开和学术杂志的发行,分数阶微积分理论自此步入进展迅猛的发展阶段.分数阶微分模型具有非局部性质和记忆性质,可以用较少的参数刻画具有实际应用背景的数学模型,从而克服了整数阶微分模型理论与实验结果吻合不好,误差较大的严重缺点.但是,目前学者们在分数阶微积分理论的很多问题上还存在着分歧,国际上的学术争论也不断的出现.因此,对于分数阶微积分系统的研究具有非常重要的理论和现实意义.本文讨论若干非线性分数阶微分系统的初边值问题的解.第一章介绍了本文所研究问题的历史背景,研究意义,研究现状以及本文所做的主要工作.第二章研究了一类半线性分数阶发展系统的完全控制性问题.首先给出该系统的一个新的完全控制性的定义,在不要求半群{T(t)：t≥0}的紧性以及非线性项的紧性,李普希兹连续性和其它的增长条件,而只要求其连续性的条件下,利用预解算子理论,Kuratowski's非紧性测度, Sadovskii's不动点定理和Monch不动点定理,讨论了所给系统的完全控制性.所获结果推广和改进了目前现有的一些研究成果.第三章讨论了两种类型的高阶分数阶耦合微分系统.首先考虑一类导数项与非线性项互相耦合的Caputo型高阶分数阶微分系统,通过研究Green函数的性质建立一个合适的锥,利用积分算子沿此锥在护和∞处的可微性和有界正线性算子的谱理论,结合锥上的不动点指数理论,我们给出了一些解的存在性定理.其次考虑一类积分边值条件互相耦合的Riemann-Liouville型高阶分数阶微分系统,利用非线性抉择理论,Krasnoselskii's不动点定理和锥上的不动点指数理论,我们求出了系统中参数λ的一个取值区间,使得只要λ位于这个区间内,那么该系统至少具有两个正解.第四章考虑两类非线性分数阶微分系统边值问题多解的存在性.首先考虑一类非线性项依赖于导数项的分数阶微分系统,通过求解Green函数,研究其性质,从而建立一个合适的锥,分别利用Guo-Krasnoselskii's不动点定理,Leggett-Williams不动点定理和一个推广的Krasnoselskii's不动点定理给出了该系统多解的刻画.其次利用锥上的微分算子方法研究一类具积分边值条件和参数的分数阶微分方程的多解,其中所涉及的方法还有有界正算子的谱理论,有界线性逆算子理论以及锥上的不动点指数理论等.第五章在Banach空间中研究了一类具有脉冲影响的奇异微分方程边值问题的特征值问题.首先利用一个巧妙的变换技巧克服了脉冲项和参数所带来的干扰,其次通过建立一个特殊的锥,采用逼近技巧避开奇异性的干扰,最后在满足不同的假设条件下,通过利用锥上的不动点指数理论,非紧性测度理论给出了若干个特征值问题的判定定理.考虑到无穷维Banach空间的抽象性,我们给出了主要结果的一个具体应用.所研究的问题和使用的方法推广和改进了现有的一些研究成果.
[Abstract]:......
【学位授予单位】：山东师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O175.8

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本文编号：2409604