分数次多孔介质方程长时间行为的研究

发布时间：2019-02-22 20:18

【摘要】：这篇博士学位论文主要研究分数次耗散的多孔介质方程解的长时间动力学问题:这里(—△)σ/2 是分数次 Laplacian 算子,σ ∈(0,2),,m ≥ 1,Ω 是RN(N≥1)中的一个有界区域,并且具有充分正则的边界(?)Ω,u0是初始值,h∈L∞(Ω)是不依赖于时间的外部强迫项,g(s)是非线性项.在第三章中,我们主要研究m1并且分数次算子为谱分数次Laplacian算子(the spectral fractional Laplacian)情形.全章分成三个部分,第一部分研究非线性项是多项式增长情形下解的存在性.证明了当初值u0∈Lm+1(Ω)时存在弱解u(x,t),使得um(x,t)∈ L2(0,T;H0σ/2(Ω)).由于方程的主部算子是非线性的,通常的Faedo-Galerkin方法难以应用.为了克服这一困难,应用文献[89]中的方法,我们将时间离散化,先考虑相应的差分方程,然后再由差分方程的解来逼近原方程的解.又由于非线性项g的出现,文献[89]中证明弱解存在性的方法将不再适用.事实上,非线性项的存在导致了算子(I + εA)-1没有很好的压缩性(这里Au =(-△)σ/2|u|m-1u),从而Crandall-Liggett定理不再适用,而Crandall-Liggett定理是文献[89]证明弱解存在性的关键.我们应用Aubin-Lions引理和一些紧性定理来处理这一问题,最终证明了定理3.3.第二部分主要研究非线性项在无上增长限制情形下方程解的适定性.我们首先得到了弱解在Lm+1(Ω)空间的存在性(见定理3.5),然后证明了逼近解在L1(Ω)空间上生成连续半群(见定理3.16).在证明初值u0 ∈Lm+1(Ω)方程解的存在性的过程中.我们同样将时间离散化,考虑差分方程.但在证明差分方程解的存在性,即,相应的椭圆方程解的存在性的问题时,由于非线性项没有上方控制,通常的不动点理论,非线性泛函分析理论较难应用.我们对这一椭圆方程应用Faedo-Galerkin方法,先考虑一个Rn上方程组的解(见引理3.4).而即便是有穷维的方程,由于非线性项的存在,给解的存在性带来一些麻烦.为此我们应用极大单调算子理论来得到有限维方程解的存在性,再用有穷维方程的解逼近椭圆方程的解.另一方面的困难是在利用差分方程解作逼近的过程中,由于非线性项没有上增长限制,使得我们不能用通常的方法来得到g(uε)的极限.因此我们应用Orlicz空间理论来克服这一困难.为了证明逼近解在L1(Ω)上生成连续半群,我们先证明了逼近解在L1(Ω)上的存在性.又因为多孔介质方程是退化微分方程,我们通过摄动的办法首先证明了初值uo ∈ Cc∞(Ω)时方程解的存在性,并给出了解的L1-L∞估计,然后再用光滑函数在L1(Ω)空间做逼近得到逼近解的存在性并得到了唯一性(空间连续性).第三部分,我们研究了逼近解的长时间行为.通过证明紧吸收集的存在性,我们得到了全局吸引子的存在性(见定理3.18).紧接着,我们用Z2指标的方法来研究吸引子的维数.我们证明了在一定条件下吸引子的维数是无穷维的(见定理 3.21).第四章主要研究m = 1并且带有限制分数次Laplacian算子(the restricted fractional Laplacian)的多孔介质方程长时间行为.我们得到了解的适定性(见定理4.2),(L02(Ω),L02(Ω))-全局吸引子的存在性(见定理4.5)和(L02(Ω),H0σ/2(Ω))-全局吸引子的存在性(见定理4.8).由于非线性项没有上方的控制,主要带来两方面的困难.一方面,在我们用Faedo-Galerkin方法证明解的存在性的过程中.我们难以通过估计g(um)来得到弱极限.为了克服这一困难,我们应用Orlicz空间中弱紧性定理来得到g(um)的弱收敛性.另一方面,在证明解的唯一性时,不可以直接作用w,而是作用w的截断函数Ψk(w).这给我们带来一个新的问题,主部算子该如何估计.为了解决这一问题,我们应用σ-调和延拓的方法([25,89]).紧接着,我们得到了(L02(Ω),L02(Ω))-全局吸引子的存在性.由于无法得到解半群在空间H0σ/2(Ω)上的连续性,我们运用文献[124]中提到的强弱连续半群思想来处理这一问题.又因为(—△)σ/2是限制分数次拉普拉斯算子,因此方程解的正则性较低.为了克服这一困难,我们给出了一个渐近先验估计,从而得到(L02(Ω),H0σ/2(Ω))-全局吸引子的存在性.
[Abstract]:......
【学位授予单位】：南京大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O175

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