离散时间Lyapunov方程的快速迭代算法

发布时间：2019-05-30 11:25

【摘要】：Lyapunov矩阵方程在现代控制理论中发挥着重要的作用。比如,在对线性离散系统进行稳定性分析时,通过对其对应的离散Lyapunov矩阵方程进行求解,根据方程是否有唯一正定解,进而判定系统是否稳定。迭代算法是一种求解Lyapunov矩阵方程近似解的有效方法,所求得的近似解可以逼近该Lyapunov矩阵方程的唯一正定解。本文针对线性定常离散时间系统所对应的Lyapunov矩阵方程提出一种具有可调参数的显式迭代算法。通过选取合适的参数值,所提出的迭代算法可以更快地逼近Lyapunov矩阵方程的唯一解。本文的主要内容如下:针对线性定常离散时间系统对应的Lyapunov矩阵方程,提出了一种具有可调参数的显式迭代算法。这种算法通过加入可调参数,从而引进了迭代过程中上一步得到的估计信息和先前步得到的估计信息,使迭代估计信息运用相对更加彻底,在一定程度上能够加快算法的收敛速度。在零初始条件下,通过数学归纳法对算法所产生的迭代序列的单调性和有界性进行证明。通过证明可知算法产生的迭代序列严格单调递增,并且以方程真实解为上界,由此说明算法得到的迭代序列收敛。通过Matlab数值仿真实验验证了算法在零初始条件下的有效性。根据矩阵Kronecker积和矩阵拉直运算,将矩阵方程转换成线性方程组的形式,借助线性方程组迭代求解的重要结论给出一个使算法在非零初始条件下收敛的充分必要条件。此外,结合多项式方程根的位置分布,给出一个更容易得到的使算法收敛的充要条件。同时利用朱利稳定判据给出使算法收敛的参数取值范围。通过数值仿真实验验证了算法在非零初始条件下的有效性,并且由数值仿真结果可知选择不同的迭代初值时对算法的收敛速度有一定影响。基于多项式方程根的位置分布建立一种计算最优参数的数学方法。对于求解一些特殊系统对应的Lyapunov矩阵方程,给出了算法最优参数的显式表达式,从而使得参数取最优值时所提出的算法具有最快收敛速度,并且通过这种方法能够得到最小谱半径。通过数值仿真实验验证了选取的参数最优值能使算法达到最快收敛速度。
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【学位授予单位】：哈尔滨工业大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O241.6

【参考文献】