Maass尖形式的傅立叶系数在素变数指数和中的均值

发布时间：2019-07-25 15:11

【摘要】：关于Maass尖形式的傅立叶系数问题吸引了很多学者的关注并且得到了广泛的研究[9,21].本文利用自守L-函数的零点密度估计,Abel分部求和公式,Vaughan恒等式,指数和估计等方法,我们研究了 Maass尖形式的傅立叶系数在素变数指数和中的均值,在Ramanujan-Petersson猜想成立和猜想不成立时分两种情况讨论,这丰富了关于傅立叶系数性质的结果.设f(z)为完全模群SL(2,Z)上的具有拉普拉斯特征值1/4+r2的Maass尖形式,则f(z)在尖点∞处的傅立叶展开式为f(z)=2(?)af(n)Kir(2π|n|y)e(nx),其中Kir为K-Bessel函数且af(n)表示其第n个标准化的傅立叶系数.当σ =(?)s 1时,我们定义关于f(z)的Hecke L-函数为(1.1) L(f, s) =(?)αf(n)n-s=(?)(1-αf(p)p-s)-1(1 - βf(p)p-s)-1,这里的αf(p)和β∫(p)为在p的局部根且αf(p)+βf(p) = af(p), αf(p)βf(p) = 1.对于Maass尖形式来说,我们还不知道广义的Ramanujan-Petersson猜想是否成立,即是否对任意的ε 0,都有af(n)nε成立.目前最好的结果是由Kim和Sarnak[1]得到的,即αf(n)n1/64+ε.由局部根αf(p)和βf(p),我们可以得到(1.2) αf(pk)=(?)αf(pk-j)βf(pj),(?)为了方便后面的计算,我们可以将上式改写为为了将L(f,s)与素数联系起来,我们在L(f,s)表达式中取对数可得本文中我们定义μ(n,f)为L(f,s)-1的第n个系数,联合f(z)的傅立叶系数我们可以得到(1.4) L(f,s)-1=(?)μ(n,f)n-8,(1.5) μ(n,f)=(?)μ(s)μ2(st)αf(s).1985年,Vinogradov[2]首次研究了S(x) =(?)Λ(n)e(α(?)),这里的A(n)为Mangoldt函数,他证明了S(x) x7/8+ε.在此基础之上,很多学者对其结果进行了改进[5,6],本文中我们也推广了Λ(n)指数求和问题,即研究Maass尖形式对应的L-函数对数导数的系数Λ(n,f)与特征e(α(？))(其中α ≥ 0 )乘积的均值估计,即Sf(x)=(?)Λ(n,f)e(α(?)), x≥2.(?)易知Sf(x)=(?)αf(p)logp e(α(?)) + O(x1/2logx).目前我们并不知道Maass尖形式对应的Ramanujan-Petersson猜想是否成立,所以本文中我们分别在猜想成立和猜想不成立时进行了讨论,在猜想不成立的情况下,结果稍微差一些,这是因为在猜想成立的情况下,我们能够运用(3.7)式,而在猜想不成立情况下,我们无法运用(3.7)式,这使得Maass尖形式的傅立叶系数在素变数指数和中的均值估计更加困难.当 Ramannujan-Petersson 猜想成立时:定理1 当α 0,x ≥ 2时,对任意小的ε 0,我们有Sf(x) =(?)Λ(n,f)e(α(?)) x5/6+ε,这里隐含的常数依赖于α及尖形式f.当Ramanujan-Petersson猜想不成立时:定理2 当0 α x-17/36, x≥ 2时,对任意小的ε 0,我们有Sf(x)=(?)Λ(n,f)e(α(?))《x17/18+ε这里隐含的常数依赖于α及尖形式f.
【学位授予单位】：山东师范大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O174.2

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本文编号：2519164