耗散—排斥系统及微分包含的仿射周期解

发布时间：2019-10-18 15:44

【摘要】：仿射周期性描述了一种比周期性更复杂的规律性运动,在声波、电磁波等物理现象中有广泛的应用.作为非线性分析理论中的一个重要研究方向,微分包含在物理学、力学、经济学等学科都有重要的应用,研究微分包含周期解的存在性也是一个基本课题.本文讨论了仿射耗散-排斥系统的仿射周期解的存在性,以及微分包含系统的仿射周期解的存在性.在第二章中,我们考虑微分方程其中f(t,x):R1×Rn→Rn是连续的仿射周期函数且关于x满足局部Lipschitz条件,以及泛函微分方程足局部Lipschitz条件,F映R1×C([-r,0],Rn)中的任意有界集到Rn中的有界集.我们给出了仿射耗散-排斥的(泛函)微分方程系统的定义；根据仿射周期系统的特殊结构,定义了Poincare映射,并应用拓扑度理论,证明了Poincare映射存在不动点,从而证明了一个仿射周期的仿射耗散-排斥系统存在仿射周期解；对泛函微分方程,我们得到了类似的结果.这样就将耗散-排斥系统存在周期解这一经典结果推广到了仿射周期情形.在第二章的最后,我们给出了一些具体的例子来进一步理解仿射周期系统,并给出了用Lyapunov函数方法验证系统的仿射耗散-排斥性的例子.在第三章中,我们考虑微分包含系统其中是仿射周期的上半连续函数,K(Rn)为Rn中所有非空紧凸子集构成的集合.首先利用Zaremba定理([68]),用连续函数来逼近微分包含右端的上半连续函数,然后应用Filippov定理([23]),将微分包含问题转化为常微分方程的初值问题,最后应用Horn不动点定理来证明Poincare映射存在不动点,这样就得到原微分包含问题仿射周期解的存在性.我们证明了如果微分包含的解是一致最终有界的,则存在仿射周期解.我们考虑时滞泛函微分包含系统是仿射周期的下半连续函数,Comp(Rn)为Rn中所有非空紧子集所构成的度量空间.当考虑带有非凸右端项的泛函微分包含系统时,我们应用A. Bressan和G. Colombo在[5]中给出的非凸非空闭值的下半连续集值函数的连续选择定理,将泛函微分包含问题转化成为一个泛函微分方程问题；然后我们通过一个有限维近似的方法将时滞方程转化成为只有有限多个时滞的微分方程,这就解决了由于系统的相空间是无穷维所导致Poincare映射失去紧性的问题,对这个只有有限多个时滞的微分方程应用Horn不动点定理,我们就证明了如果泛函微分包含的解满足一个有界性条件并且是局部仿射耗散的,则泛函微分包含有仿射周期解.最后,我们考虑无限时滞泛函微分包含系统仿射周期的并且是关于(t,φ)的上半连续函数,映中有界集到Rn中有界集.我们利用上述有限维近似的方法研究带有无限时滞的泛函微分包含系统的仿射周期解,证明了如果微分包含的解是一致有界的并且是一致最终有界的,则微分包含存在仿射周期解.
【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175

【参考文献】