退化椭圆（抛物）方程组与超抛物方程内部正则性

发布时间：2019-11-12 02:28

【摘要】：椭圆方程组和抛物方程组在科学和工程领域内具有重要的理论和实际意义.随着偏微分方程理论的发展,由Hormander向量场构成的方程组受到许多学者的广泛关注.已有许多学者在欧氏空间中研究了对角型椭圆和抛物方程组弱解的正则性,但对非对角型椭圆和抛物方程组的研究较少,目前还未见到由Hormander向量场构成的非对角型退化椭圆和抛物方程组的研究.本文研究了由光滑Hormander向量场构成的低阶项满足一类增长性条件的非对角型拟线性退化椭圆方程组和抛物方程组弱解的正则性；还研究了一类非齐次超抛物方程弱解的正则性.全文由以下三部分组成.第一部分研究了由光滑Hormander向量场构成的非对角型拟线性退化椭圆方程组弱解的正则性.针对非对角型退化椭圆方程组,本文利用系数的分解形式,将方程组分解为对角型齐次方程组与对角型非齐次方程组,分别研究其弱解梯度的Lp(p≥2)正则性,并由这两类方程组弱解梯度的Lp正则性结合齐型空间上的反向Holder不等式得到非对角型退化椭圆方程组弱解梯度的正则性.然后利用此结论分别讨论齐次与非齐次方程组弱解的正则性,进而将非齐次退化椭圆方程组弱解梯度的可积性进行提升,得到了低阶项满足一类增长性条件的非对角型退化椭圆方程组弱解梯度的高阶Morrey(Lp,λ)正则性,最后研究了方程组弱解的Campanato正则性,并由Morrey引理证明了弱解的具确切Holder指数的Holder正则性.当低阶项满足另一类增长性条件时,还研究了弱解梯度的高阶Campanato正则性.第二部分考虑了由光滑Hormander向量场构成的低阶项满足自然增长条件的非对角型拟线性抛物方程组弱解的正则性.由于抛物方程组缺乏相应的Poincare不等式和Sobolev不等式,因此这部分首先通过选取合适的截断函数对抛物方程组的弱解建立了抛物型Poincare不等式,并引入弱解在度量球上的平均,得到了抛物型Sobolev不等式.利用先验估计建立了抛物方程组弱解的Caccioppoli不等式,再结合抛物型Sobolev不等式和齐型空间上的反向Holder不等式证明了弱解梯度的高阶Lp正则性和Morrey正则性,利用抛物型Poincare不等式导出弱解的Campanato正则性.在缺少抛物型Morrey引理时,证明了Campanato空间与Holder空间的同构关系,由此得到了抛物方程组弱解的Holder正则性.第三部分研究了一类非齐次超抛物方程弱解的正则性.已有学者利用奇异积分法研究了该类方程,另有一些学者利用先验估计法研究了齐次超抛物方程.本文利用先验估计法,在该类方程弱解为L2可积时,利用齐型空间中的反向Holder不等式提升弱解的可积性,得到了弱解梯度的高阶正则性,即Lp估计和Morrey估计.在建立弱解梯度的高阶正则性时,由于缺少所需的Sobolev不等式和Poincare不等式,所以本文利用超抛物算子的凝固算子的基本解性质得到弱解的Sobolev不等式,通过选取合适的截断函数证明了弱解的Poincare不等式.最后由弱解梯度的Morrey正则性和Poincare不等式得到了弱解的Campanato正则性.
【学位授予单位】：西北工业大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175.2

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本文编号：2559540