几个偏微分方程的保结构算法构造及误差分析

发布时间：2020-02-03 04:41

【摘要】：在“数值算法应尽可能多地保持原问题的本质特征”的指导原则下,冯康先生首先提出了保结构算法的思想.由于其优良的稳定性和精确的长时间数值表现,目前保结构算法在求解哈密顿常微分方程上已经取得了显著的效果.但是,非线性波的传播,电磁场的演化等实际问题经常涉及无穷维哈密顿系统.对该系统的保结构算法研究还不够完善仍处于起步阶段,有许多基础理论与实际应用问题函待解决.因此,本文致力于进一步研究无穷维哈密顿系统的保结构算法,主要包含两个部分.第一部分主要是继续发展无穷维哈密顿系统保结构算法的基本理论.一方面,由于局部保结构算法在提出后研究工作很少,所以我们首先以Korteweg-de Vries方程为研究对象,为其构造出一系列局部保结构算法.然后,我们系统给出一维和二维情况下一般守恒偏微分系统的局部保结构算法的构造框架,该框架适用于一大类守恒偏微分方程.另一方面,由于保结构算法的传统误差估计工作还不是很多,所以我们构造并分析在不同边界条件下非线性Schrodinger方程和Klein-Gordon-Schrodinger方程的保结构算法.第二部分是研究新构造的保结构算法在非线性波方程数值模拟上的应用.主要研究成果如下:1.由于偏微分方程的结构是定义在整体时间层上的,结构的保持必须和边界条件相关.因此,当讨论一个给定偏微分方程的传统保结构算法时,除了要考察该方程是否是保守系统外,还必须看所给的边界条件是否合适.为了扩大保结构算法的适用范围,我们基于复合构造方法以Korteweg-de Vries方程为研究对象,给出构造其一系列局部保结构算法的框架,包括八个多辛算法,八个局部能量守恒算法以及八个局部动量守恒算法.这些局部保结构算法在任何的时间和空间区域上都保持离散的局部守恒结构.当边界条件适当时,这些局部保结构算法就是全局保结构算法,反之不然.我们还给出了一些格式的线性稳定性分析.另外,数值实验表明所构造的局部保结构算法不但能得到较好的数值解,还可以保持系统的相应守恒律.这个统一框架可以很容易的被应用于许多其他方程.2.很多偏微分方程能被写成一个多辛哈密顿系统.多辛哈密顿系统有三个局部守恒律,即多辛守恒律,局部能量守恒律和局部动量守恒律.虽然已有工作验证了局部保结构算法理论可以适用于若干具体方程,但是仍然还有许多守恒型偏微分方程需要去验证.所以,我们对一般保守偏微分方程,从多辛形式出发,系统地给出其一维和二维情况下的局部保结构算法的构造框架.这些所提出的算法中包括了著名的多辛Preissmann格式和Euler-box格式,以及许多新格式.另外,我们不仅利用平均向量场方法对空间进行离散构造局部能量守恒算法还利用其对时间方向进行离散来得到局部动量守恒算法.这里所提出的局部保结构算法都不依赖于边界条件并且适用于一大类守恒偏微分方程.利用此框架,我们为非线性Schrodinger方程和Klein-Gordon-Schrodinger方程构造出一系列局部保结构算法.数值实验也表明所提算法的良好表现.3.近年来,高阶紧有限差分方法在高精度波的模拟中起着重要作用.我们提出并分析了 Dirichlet边界条件下Klein-Gordon-Schrodinger方程的一个两层守恒高阶紧差分格式.我们使用实函数(?)(x,t)的时间导作为一个独立变量并重写原初边值问题为一个等价的系统来克服理论分析该方程两层紧格式的困难.另外,对于紧算子和Dirichlet边界条件带来的困难,我们将所提格式的逐点分量形式转化成等价的向量形式.接着,我们运用能量方法和矩阵知识来证明该格式保持离散的总电荷和总能量.仅在原方程的解满足一定正则性的条件下,我们分析了该算法在L2模意义下的误差估计.数值实验印证了理论分析.4.基于线方法的数值方法,除了有限差分方法以外,Fourier拟谱方法也由于其高精度和高效性成为最常采用的方法之一.对耦合非线性Schrodinger系统,我们基于Fourier拟谱方法,Crank-Nicolson方法和蛙跳方法给出一个高效的守恒格式.我们的主要思想有两部分.第一,我们是从耦合非线性Schrodinger系统的哈密顿结构出发并且所得的格式仍然保持哈密顿特性.第二,在空间上,我们使用Fourier拟谱方法进行离散,在时间上,我们针对线性项和非线性项分别使用Crank-Nicolson方法和蛙跳方法进行离散.使用能量方法和传统的插值理论,我们严格证明了所提格式仅在原方程的解在满足一定的正则性的条件下的L2模误差估计.最后,数值实验验证了理论分析.5.在本文中,我们还对周期边界条件下Klein-Gordon-Schrodinger方程提出并分析了一个新的Fourier拟谱守恒格式.首先,我们将原方程改写成一个无穷维的哈密顿系统.接着,我们借助于Fourier拟谱方法使用线方法的思想得到一个半离散系统.该系统可以被表示成一个典则的有限维哈密顿系统.然后,对所得半离散系统,我们利用对称离散梯度方法得到一个同时保持能量和电荷的格式.基于离散守恒律以及由Fourier拟谱方法诱导的半范与由有限差分方法诱导的半范的等价性,我们证明了 Fourier拟谱解在最大模意义下的有界性.仅在原方程的解满足一定正则性的条件下,我们分析了所构造格式在L2模意义下的误差估计.数值实验和理论分析相一致.
【学位授予单位】：南京师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O241.82

【参考文献】