基于空间分数阶扩散方程及点态受限约束的三维最优控制问题的快速算法

发布时间：2020-02-04 04:10

【摘要】：最优控制问题的数值近似是工程设计中的重要课题,而分数阶扩散方程在数学物理领域中的应用也非常广泛。相比于整数阶方程,分数阶扩散方程更能准确恰当地描述反常扩散过程。比如模拟溶质的运动过程,湍流,地下水污染物运移以及古典保守系统的混沌动力学等。因此,对分数阶扩散方程最优控制问题的算法研究有着重要的意义。由于分数阶差分算子的非局部性质,有限差分数值方法会产生稠密的系数矩阵,针对该线性系统的直接算法往往需要O(N3)的计算量和O(N2)的存储量。所以,寻找解决该系统的快速算法就意义重大。本文主要研究基于非稳态空间分数阶扩散方程及点态受限约束的三维最优控制问题的快速差分算法,共分五章。第一章,给出分数阶最优控制问题的研究背景及现状,并给出所要研究的问题模型：寻找使得如下目标泛函达到最小其中状态方程满足第二章,通过引入伴随状态方程,给出了梯度投影算法并介绍了CN-WSGD差分格式。第三章,首先给出状态和伴随状态方程的交替方向法,然后给出求解线性方程组的PCG/PCGS算法,最后根据ADI-WSGD格式,分析得到的线性方程组的矩阵特性。根据系数矩阵的Toeplitz性质,在对称情况下,应用PCG算法将计算量从一般高斯消去法的O(N3)减少到O(NlogN)。在非对称情况下,应用PCGS算法将计算量控制在O(NlogN)内。第四章,分别给出对称和不对称两种数值算例,采用PCG/PCGS方法和GAUSS消去法分别进行求解,并比较最后的收敛情况及CPU时间。结果表明,与传统的GAUSS消去法相比,在保持同样的收敛效果下,快速算法大大提高了计算效率。第五章,给出全文的总结。
【学位授予单位】：山东大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O241.82;O232

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本文编号：2576224