强非线性振子近似解析方法研究及其在无限维动力系统中的应用

发布时间：2020-02-22 13:40

【摘要】：随着科学技术的不断发展,新型材料和结构形式的出现,机械系统越来越复杂,精密实验室的隔振防振要求越来越高,高层建筑、大跨度空间结构和桥梁的防振设计以及大型索膜结构的防风设计越来越复杂,这些问题都使得强非线性振动问题的研究日益突出。近些年来,国内外众多学者都在致力于研究强非线性振动的新理论和新方法。但是,鉴于非线性微分方程的特性,使得目前没有一种方法能够得到所有类型非线性方程的精确解或特解,从而导致了定量分析方法具有多样性与局限性并存的特性。因此,非线性微分方程求解方法的创新和改进,仍然是值得研究的热门课题。本文针对这一热门课题进行研究,提出了两种改进的方法,一种是平方广义谐波函数摄动法,另一种则是广义Padé逼近及其衍生方法。主要工作可总结为如下五个方面。第一,对当前非线性动力系统的分岔研究与定量研究现状进行了概述。第二,对广义谐波函数L-P法进行了改进。通过构造新的广义谐波函数解,以及对求解过程的合理简化,提出了一种平方广义谐波函数摄动法,并利用该方法研究了同时含有平方和立方非线性项的阻尼Helmholtz Duffing振子以及含有有理型势能函数的广义Duffing-harmonic振子,求得了上述振子的高精度解析极限环和同异宿轨,较准确的预测了其同异宿分岔参数的临界值,为一类非线性振子的定量分析提供新的思路和参考方法。第三,在经典Padé逼近方法的基础上进行了相应推广,提出了广义Padé逼近方法,并针对强非线性振动系统的同异宿轨和周期轨求解问题,分别利用双曲函数和余弦函数构造了两类新的广义Padé逼近式,并对Padé逼近的求解过程进行了合理的改进,求得了势能函数为高阶多项式、有理函数和无理函数振子的高精度解析同异宿解和周期解。突破了现有的Padé和类Padé逼近方法无法有效求解周期解的限制,为Padé逼近在振动领域中的应用提供了新的参考和思路。此外,该方法简单、直接,且所得之解的精度不受非线性项系数大小和振幅大小的影响。通过理论分析和实例计算表明,该方法并不局限于某些特定的系统,而是有着较广的适用范围。因此,对广义Padé逼近方法的研究具有一定的实际意义和理论价值。第四,将广义Padé逼近方法与经典的Lindstedt-Poincaré方法相结合,提出了一种广义Padé-Lindstedt-Poincaré方法。该方法即弥补了广义Padé逼近方法无法直接求解自激振动的局限,也弥补了椭圆函数摄动法在求解只含平方或立方非线性项以外的系统时精度不够的局限。同时,该方法所得之解为显式解,弥补了广义谐波函数摄动法的局限。更重要的是,该方法亦有着较高的求解精度和较简单直观的求解过程,便于利用计算机进行程序化计算。基于该方法,研究了几类势能函数为高阶多项式函数和有理函数的强非线性振子,得到了其高精度的近似解析解,并较准确的预测了强非线性下的分岔临界参数。因此,该方法亦可视为对现有摄动方法的一种有效补充,对该方法的研究具有一定的实际意义和理论价值。第五,将上述方法应用于两类无限维动力系统的求解。首先,应用广义Padé逼近方法求解了改进的Zakharov-Kuznetso方程、广义Pochhammer-Chree方程以及广义Drinfeld-Sokolov方程,得到了上述方程的高精度近似孤立波解。然后,利用平方广义谐波函数摄动法研究了一类生物入侵模型,求得了该系统极限环解的近似表达式,并得到了极限环初值与控制参数之间的关系。利用此关系预测了系统在不同参数下的极限环初值,通过将本文所得结果与数值结果进行比较,验证了该方法的有效性和可靠性。最后,指出了本文目前仍存在的一些不足,并对下一步的研究进行了规划和展望。
【图文】：

椭圆函数,极限环,摄动,振子

强非线性振子近似解析方法研究及其在无限维动力系统中的应用法和椭圆函数摄动法得到的极限环。通过比较图 1 中不同方法得到的解，不难看出，椭圆函数摄动法仅在较小时保持较好精度，而本文的方法则在 1时，也保持较高精度可以看出本文所得之解有着较好的精度。

极限环,方程,方法,高阶谐波

博士学位论文1 0.1498sin(2 ) 0.0128sin(4 ) 0.0001sin(6 ) 0.000008sin(8 ) HH(2.56)其中 HH 为高阶谐波项。在图 2.2 中，绘制了当 1和 2时的极限环。利用Runge-Kutta 所得之解亦绘制在了图 2.2，通过比较不难看出，本方法对于较大的依然有着不错的精度.
【学位授予单位】：湖南大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175;O322

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