Julia集的局部连通性与拟正则延拓

发布时间：2020-03-22 04:57

【摘要】：本篇论文有两个主题.第一个是研究带有有界类型Siegel盘的全纯映射的Julia集的局部连通性;第二个是研究实轴到单位圆周的一维覆盖映射的拟正则延拓.基于这种延拓,利用拟共形手术,我们构造了一类整函数,这类整函数为Stallard的Cauc.hy积分提供了一个几何模型.关于第一个主题,我们主要研究带有有界类型Siegel盘的全纯映射的局部连通性.在这方面最早.的结果由Petersen获得.他在.[62]中证明了对二次多项式,如果它有一个有界类型的Siegel盘,则其.Julia集是局部连通的.Petersen的证明中的主要想法是构造了一 puzzle pieces(现在被称作是 Petersen's puzzles),并且对这类 puzzle pieces 给出了几何上的很细微的估计.借助于临界圆周映射的复界,Yampolsky给出了另外一种方法证明了 Petersen的结果.这种复界的获得依赖于如下事实:二次多项式的有界类型的Siegel盘的边界只有一个临界点.我们的研究有两个特点.第一,我们研究的映射,很多情况下不存在puzzle结构;第二,我们允许在Siegel盘的边界上含有多个临界点.特别的,我们研究了多项式,有理函数,和整函数在满足以上两个特点的条件下,Julia集的局部连通性(定理4.1,P42).值得指出的是,当一个Siegel盘内部包含一个渐近值,那么就会存在无限多个Siegel盘的逆像,这些逆像在球面度量下,它们的直径有正的下界.根据Whyburn定理,这意味着Julia集不是局部连通的.映射e2πiθzez就满足这个特点.我们将对e2πiθzez的Julia集的结构给出详细的描述(定理4.2,p44).在这一部分的研究中我们的主要的新思想是引理4.1(p46).这个引理断言一类Blaschke乘积的高次迭代在单位圆周附近表现出一定的弱扩张性.作为补充,我们利用拟共形手术构造出一类整函数,使其满足如下特定的动力系统性质:所有的Fatou分支都是拟圆盘,但其Julia集是非局部连通的(引理5.1,定理5,1 p67).在[7]中,作者利用Maclane-Vinberg方法(一种函数论的方法)构造出了这样的一类整函数.与上述文献的方法不同的是,我们利用拟共形手术来构造这类整函数.我们的方法更具有几何特点.本篇论文的第二个主题,是研究实轴到单位圆周的一维覆盖映射的拟正则延拓(定理6.1,p81).这项研究有两个重要意义.在拟共形映射的基础理论方面,这种拟正则延拓是Beurling-Ahlfors拟共形延拓的一个自然推广.在复动力系统中的应用方面,这样的延拓可以使得我们获得一个具有不变椭圆域的拟正则模型,从而通过拟共型手术得到一个满足特定性质的整函数.特别地,在我们已经完成的工作中我们对Stallard关于实现Julia集的Hausdorff维数的Cauchy积分给出了相应的几何模型.在这一研究中我们主要的新思想是一类“金字塔”模形的构造.文章的大致结构如下.在第一章中,我们首先介绍本篇论文主要论题的研究历史和研究背景及发展状况;其次介绍了这篇博士论文所研究的主要内容和结果.最后,给出了所用到的复动力系统中的基础知识、双曲度量、Koebe偏差定理、Hausdorff维数以及圆周同胚映射等这些基础性的研究工具和后面章节所用到的一些主要结果等.在第二章中,我们分三个小节系统地介绍了拟共形映射理论.我们对拟共形映射及拟正则映射的定义及其基本性质做了简单介绍.我们着重讨论了拟共形映射的延拓.在第三章中,我们主要关注拟共形手术基本原理及其在复动力系统中的应用.我们首先介绍拟共形手术的基本原理及其等价条件.这些等价条件在下面的第五、六章中将要用到.另外,通过一些例子,讨论拟共形手术在复动力系统的中应用.例如,类多项式共轭于一个多项式,将一个单连通分支中的几何吸性不动点通过手术转换成超吸性不动点,将一个几何吸性不动点转化为无理中性不动点,怎样进行Siegel盘与Herman环的相互转化等等.在第四章中,我们分三个主要部分,七个小节来介绍我们的主要工作.更加具体地说,我们证明了一类拟-Blaschke模型映射,经过很多次迭代以后,在单位圆周附近所出现的某种扩张性.依此来证明一类带有有界类型Siegel盘的全纯映射的Julia集是局部连通的.在第五章中,我们利用拟共形手术构造出了一类整函数,使得其所有的Fatou分支均是拟圆盘的且Julia集是非局部连通的.构造过程的关键点是要找一个拟正则映射F使得F的动力系统性质和我们要构造的整函数∫的动力系统性质是相似的.例如,F与∫的奇异值集合是一样的等等.在§5.3中,我们先假设拟正则映射F己经找到,给出主要定理的证明.在§5.4节,给出主要引理的证明.在第六章中,我们主要研究了一维覆盖映射的拟正则延拓.在定理6.1(p81)中给出了实轴到单位圆周的覆盖映射可以拟正则延拓到上半平面的充分条件.其证明方法是构造性的.这一部分的主要思想是一类金字塔模型的构造.在这章的最后,作为一个应用,我们给出了 Stallard的Cauchy积分的一个几何模型.
【图文】：

Julia集的局部连通性与拟正则延拓

构造拟正则映射

黎曼曲面,坐标,共形映射

′是 - 拟共形映射.从图2.1中, 可以直观得理解两个黎曼曲面上的 -拟共形映射的定义, 参看 [14], p36.注2.2. (1) 两个黎曼曲面之间的 -拟共形映射的定义是不依赖于坐标卡的选取. 因为不同的坐标卡之间相差一个共形映射. 事实上, 假设 , ′分别是 , ( ) 的坐标卡, 有 ′° ° 1= ( ′° ′ 1) ° ( ′° ° 1) ° ( ° 1) 1
【学位授予单位】：曲阜师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O174

【参考文献】