第二类非线性弱奇异Fredholm积分方程的Jacobi谱配置法

发布时间：2020-03-25 01:54

【摘要】：作为一种非常重要的数学模型,积分方程被广泛应用在流体力学、弹性力学、电动力学、电磁场理论、辐射学、生物学以及人口问题当中,非线性Fredholm积分方程作为积分方程的一个重要分支被许多学者研究.由于积分方程的未知项在积分当中,难以用一个精确的解析表达式给出.因此在实际应用中,选择适当的数值方法求解积分方程显得尤为重要.众所周知,谱方法的原理是把解近似地展开成正交多项式的有限级数形式,即解的近似谱展开式,再根据解的近似谱展开式以及原方程,求出解的近似谱展开式的系数方程组.因此级数展开式的项数越多,谱方法的精度就越高,快速傅里叶变换的不断发展促进着谱方法的计算量不断减少,不需要取太多的项数就可以达到预期的高精度.已有文献将谱方法运用到积分方程的求解问题中,并获得较高的精度、稳定性与收敛性。但现有研究未涉及非线性Fredholm积分方程Jacobi谱配置方法的求解问题,为此本文将Jacobi谱方法应用于非线性Fredholm积分方程中求解,得到非线性弱奇异Fredholm积分方程的高精度逼近.首先,本文给出Fredholm积分方程的国内外研究现状以及配置法、正交多项式、谱方法等预备知识,为下文介绍Jacobi谱配置法做铺垫.其次,详细介绍Jacobi谱配置法求解非线性弱奇异Fredholm积分方程的具体算法,将弱奇异函数吸收进权函数中,用Jacobi-Gauss求积公式来离散积分,以及用牛顿迭代法处理非线性部分的具体过程.最后对给出的数值格式进行理论分析,分别给出在L∞范数与L2范数下的收敛性分析,理论证明Jacobi谱配置解的L∞误差与L2误差都呈指数收敛,最后给出不同的数值例子分别验证理论结果的正确性与方法的有效性.
【图文】：

数值解,拟合,真解,图像

０．０５邋［？逦－ｉ逡逑ｓｓ＾逦邋，0ｉ￣ａ，￣ｓ￣ｓ￣＾￣ｓ￣？￣？￣ｂ逡逑（ａ）邋Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ邋ｓｏｌｕｔｉｏｎ邋ａｎｄ邋Ｅｘａｃｔ邋ｓｏｌｕｔｉｏｎ逦（ｂ）邋Ｔｈｅ邋ｅｒｒｏｒｓ邋ｕ邋—邋Ｕ邋ｖｅｒｓｕｓ邋ｔｈｅ邋ｎｕｍｂｅｒ邋ｏｆ邋ｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎ逡逑ｐｏｉｎｔｓ邋ｉｎ邋Ｌ°°邋ｎｏｒｍｓ逡逑＿邋２邋Ｎ＝５０时例４．２的真解与数值解拟合图像：（ｆｅ）与ＩＴ误叠图像（：右：）逡逑可以验证是上述方程的真解．图２邋Ｆｉｇ．ａ展亦；了真解与Ｊａｃｏｂｉ谱逡逑配置解的拟合程度ｊ人图中可以看出用Ｊａｃｏｂｉ谱配置解与真解具有很好的拟合性．逡逑Ｆｉｇ．ｂ表明了Ｌ￣误差的收敛情况，可以看出误差是成指数收敛的．逡逑例４．３考虑弱：奇异Ｆｒｅｄｈｏｌｍ积分方程如下逡逑．、逦ｆ１邋１逦、逡逑ｘ（ｔ）邋＝ｇ（ｔ）＋邋／邋逦逦－ｒ＾ｃｏｓ＾＋ｘ＾））＾，邋０＜／＜邋１，逡逑Ｊ0邋＼ｓ－ｔｙ＇１逡逑已知ｘ⑷＝ｍｓ（ｆ）是该方程的真解，将ｘ（ｆ）邋＝ｍｓ．（？）代入上式可求得．逡逑５０逡逑ｒ逦逦逦逦逦邋——－１０－３逦逦逦逦逦逦逦逦逦逦逦逦逦邋■

真解,积分方程,指数收敛,配置法

第５章邋Ｊａｃｏｂｉ谱配置法在Ｌ２空间的误差分析逡逑线性的Ｆｒｅｄｈｏｌｍ．积分方程．，而例５．２，例５：３是解光滑与解弱奇异的非线性Ｆｒｅｄｈｏｌｍ逡逑积分方程，我们绘制出了况＝１０，１５，２０，２５，３０，３５，，４０，４５，５０的误差图，可以发现该方逡逑法在Ｌ２空间上成指数收敛．逡逑例５．１．第二类钱性弱奇异Ｆｒｅｄｈｏｌｍ积分方程如下逡逑＿邋＝邋／＞逦＆扯邋＋邋刚，逡逑其中逡逑逦邋丌逦ｐ２逦逦逡逑—邋＼Ｊｔ邋２邋—邋（ｆ邋＋邋２）邋＋邋（ｆ邋＋邋２）以ｒｃｔａｎ邋＾逦＼］＿邋２＼／ｌ２邋－邋２？逡逑－（＾邋＋邋２）ｌｏｇ（２Ｖ６＾７邋＋邋４Ｖ２）邋＋邋（＾邋＋邋２）ｌｏｇ（２ＶＴｈ２）．逡逑
【学位授予单位】：北京工业大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175.5

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