欧拉方程间断伽辽金有限元解法的研究

发布时间：2020-03-26 02:24

【摘要】：计算流体力学的持续发展对算法的求解精度提出了更高的要求,但是目前多数流场求解器都只能达到二阶精度,难以满足CFD工作者解决复杂流体工程问题和更深入地研究流动本质的需要。在此背景下,间断伽辽金有限元方法作为一种高精度数值方法近年来受到广泛关注。它通过增加单元内解函数多项式项数和阶数的方法提高求解精度。该方法兼具传统有限元法和有限体积法的优点,并且融合了数值通量、近似黎曼解、TVD和限制器等内容。相比较于其它几种计算流体力学传统方法,间断伽辽金有限元法的优势相当显著。鉴于间断伽辽金有限元法的巨大优势和课题组研究的需要,本文开展了龙格库塔间断伽辽金有限元法(RKDGM)的复现工作,验证该方法的计算表现,并摸索方法中时间推进方法、通量分裂格式、限制器、不同类型网格的具体实现。研究基于欧拉方程进行,首先详细阐述了一维和二维下RKDGM以及多种通量分裂格式、限制器的理论框架,并详细介绍了不同网格类型对应的基函数、坐标变换和数值求积方法的选择。然后编写了一维RKDGM求解器,在探究通量分裂格式、限制器等算法模块具体程序实现细节的同时,探究了基函数初始系数、格式空间离散精度、限制器对计算结果的影响,并得出一些结论。以Shu激波管问题和光滑流动问题测试了基函数初始系数对计算精度的影响。通过比较分析发现:即使初始守恒变量初始分布是精确的,基函数初始系数的不精确也会导致计算精度的损失,且该问题在光滑流动问题中更为突出。进而提出一种可以保证基函数初始系数精确性的赋值方法,且对计算精度的改善效果十分显著。以激波管问题为算例测试了提高格式精度和加密网格对计算精度的改善程度。数值实验结果显示,两种方法对计算结果都有改善作用,其中提高格式精度对计算精度的改善更为突出。但是这个改善是有限度的,当格式精度提高到一定阶数,网格达到一定密度,进一步提高得空间极小。出于节约计算资源和提高计算精度的综合考虑,给出了非必须情况下,计算时应选择稍高格式阶数和稍小网格量的建议。以Lax激波管问题为算例测试minmod限制器和矩限制器的性能表现。数值实验结果显示,minmod限制器耗散较小,容易出现振荡;矩限制器耗散相对较大,对间断有些许抹平。基于该发现,提出间断探测器与矩限制器搭配使用的策略,通过设置适当的探测阈值,有效提高了矩限制器的性能表现。
【图文】：

示意图,坐标变换,四边形,示意图

5.4 四边形域的坐标变换与数值积分将真实物理空间( x, y)内的矩形域e变换到积分空间( , )中的标准参考单元 E 如图5.2 示。图 5.2 四边形域坐标变换示意图Fig. 5.2 The illustration of the coordinate transformation of a quadrilateral domaing123feabdcyx231ex231E44
【学位授予单位】：大连理工大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O241.82;O35

【参考文献】