多重有限变限积分法及其应用研究

发布时间：2020-03-29 11:56

【摘要】：在实际工程技术领域,偏微分方程及其理论发挥着重要作用,而大多数偏微分方程的解析解是很难求出的。在实际应用中,运用数值解的近似代替则尤为重要。本文提出了一种新的数值求解偏微分方程的方法—多重有限变限积分法。并在运用该方法构造数值格式时,给出了多种具体方案,包括结合拉格朗日插值函数、泰勒展式、泰勒公式法等拟合方式得到的不同方案。多重有限变限积分法与其它数值方法相比,构造的数值格式显现出精度可控、物理意义明确、可构造具有守恒性的格式、格式多样化等优点。此外,构造数值格式过程清晰明了,是一种理想的能够按指定精度要求构造离散格式的数值方法。但是,此方法还处于研究的初级阶段,还有很多方面需要进一步研究。本文对于多重有限变限积分法作了如下创新性研究:首先,本文提出了一种函数拟合的新方法—泰勒公式法,这种方法的优势是便于分析离散格式的误差精度,可以构造任意给定n阶精度的离散格式。其次,在具体构造格式过程中,要对偏微分方程每一项进行多重积分,积分计算会带来一定的工作量。本文针对偏微分方程中含有空间三次导数和四次导数项的情况,分别给出了对应的7次积分和15次积分的计算多重积分的简单计算公式,这给格式构造过程提供了便捷。然后,通过泰勒公式法对工程中广泛应用的Sobolev类型方程近似计算,这是构造Sobolev类型方程的离散格式的一种全新的尝试。本文中给出了Sobolev类型方程数值离散格式的具体离散过程,并对数值格式解的存在唯一性进行了证明。最后给出数值算例,数值实验分五个实际问题展开。数值实验结果表明,通过多重有限变限积分法离散偏微分方程是切实有效的,得到的数值格式能够达到设计的精度。最后,前面给出泰勒公式法是计算多重积分的近似积分值,本文还对多重积分的精确计算进行了研究,主要针对含二次导数项的三次积分,得到了精确地加权函数积分公式。
【图文】：

真解,绝对误差,时数,数值解

选取参数0β = 1, c = 0.03，， x=10。下面图 4.1 表示用多重有限变限积分法求解的数值解和真解对比得到的绝对误差，已知真解在 T = 200时表示如下：20u ( x , t ) = 3c sech( k ( x x)（4-35）图 4.2 分别描绘了 T = 0和 T =200时的数值解和真解图像。在这两个图像中，区域Ω = [0,30],空间时间步长分别为 h = 0.200, τ= 0.001。

范数,真解,解和,时数

图 4.2 分别在 T = 0和 T = 200时数值解和真解的图像表 4.1 当 Ω = [0,30]τ = 0.001T = 200时 L∞-范数2L -范数和1L -范数及数值收敛阶J L∞-范数 order L2-范数 order L1-范数 order40 0.0014 -- 0.0021 -- 0.0060 --60 2.8929×10-43.8888 4.4841×10-43.8079 0.0013 3.772080 9.1418×10-54.0048 1.4451×10-43.9361 4.1497×10-43.9694100 3.8297×10-53.8992 6.0273×10-53.9188 1.7860×10-43.7781表 4.2 当 Ω = [0,30]h = 0.01T = 200时 L∞-范数2L -范数和1L -范数及数值收敛阶N L∞-范数 order L2-范数 order L1-范数 order40 6.5017×10-4-- 0.0010 -- 0.0030 --50 4.1444×10-42.1080 6.5125×10-41.9219 0.0019 2.046960 2.8722×10-42.0112 4.5152×10-42.0089 0.0013 2.081470 2.1077×10-42.0050 3.3149×10-42.0047 9.8291×10-41.8138
【学位授予单位】：哈尔滨工程大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O241.82

【参考文献】