时空分数阶变系数扩散方程的混合型有限元方法

发布时间：2020-04-14 10:24

【摘要】：考虑如下时空分数阶变系数扩散方程其中,Ω=(0,1),D是一阶导数算子,0Dx1-β和xD11-β分别表示1-β(0β1)阶左、右Riemman-Liouville分数阶导数算子,0CDtαu表示α(0α1)阶Caputo分数阶导数算子,当α = 1时,0CDtαu=ut为时间的一阶导数;K(x)为具有正的上下界的扩散系数,即存在Kmin、Kmaz0,0Kmin ≤ K(x)≤ Kmax+∞,x ∈(0,1);f ∈ L2(Ω)为源项或汇项,0≤θ ≤ 1表示粒子向前相对于向后转移概率的权重.对上述变系数时空分数阶扩散方程直接采用Galerkin方法所得到的双线形式不能保证其强制性[15],因此,不能直接利用有限元方法求解.为克服此困难,我们通过引入通量p=-K(x)Du作为中间变量,将方程(0.0.1)化为变系数整数阶问题和系数为1的双边分数阶问题,建立混合型变分形式,据此构造了混合型有限元方法.进一步,我们对α阶时间导数进行离散获得全离散混合型有限元格式,即当α = 1时,我们利用向后Euler方法对时间导数进行离散,对空间分数阶导数分别采用混合型有限元和混合型间断有限元方法离散;当0α1时,对Caputo分数阶时间导数应用L1方法离散,对空间分数阶导数采用混合型有限元方法离散,从而,构造出了数值模拟方程(0.0.1)的全离散混合型有限元格式.进而巧妙地利用反对称矩阵分和块矩阵的代数性质,证明了由混合型有限元格式导出的有限元方程组的系数矩阵可逆和有限元解存在唯一.在有限元方程组的求解过程中,我们发现由分数阶算子的非局部性而产生的系数矩阵是由四个分块矩阵构成的非对称非稀疏矩阵.传统的Gauss消去方法求解需要O(N3)的计算量和O(N2)的存储量(N为剖分网格的节点数),为提高计算效率,引入快速傅里叶变换(FFT),局部处理Toeplitz-like结构的分块矩阵,降低局部计算量为O(NlogN)和存储量O(N),进而保证系数矩阵的计算量为O(N2)、存储量为O(N).注意到求解有限元方程组解的计算效率不仅与计算量和存储量有关,还与迭代次数有关.而系数矩阵为具有坏条件数的非稀疏矩阵,其迭代次数会随着剖分的加密显著增长.为降低迭代次数,我们改进传统的基于Toeplitz分块矩阵和循环矩阵表达的预处理子,结合稳定的双共轭梯算法(BiCG-STAB),构造了预条件快速稳定的双共轭梯度算法(PFBiCG).新的PFBiCG算法在保证每次迭代计算量为O(N2)、存储量为O(N)的前提下,较传统的Guass消去法和稳定的双共轭梯度算法(BiCG-STAB),明显降低了迭代次数,缩短了计算时间.本文中的数值实验提高了计算效率,也验证了实验结果与理论预测的一致性.
【学位授予单位】：山东师范大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O241.82

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本文编号：2627197