非局部偏微分方程的计算方法及其在随机动力系统中的应用

发布时间：2020-05-15 07:01

【摘要】：动力系统已经被广泛地应用在生物,化学,物理和工程等领域的建模当中.由于模型方程的精确解是很难得到,因此数值方法为我们提供了一个很好的求解途径.目前大多数动力系统采用局部的整数阶方程进行刻画,但是对于具有记忆性和非高斯行为的动力系统,采用非局部的分数阶模型进行描述相比整数阶模型更加恰当.如:采用非局部的Fokker-Planck方程描述由稳定的Lévy噪声(非高斯噪声)驱动的基因转录过程.在这篇文章当中,我们主要考虑与随机动力系统相关的非局部偏微分方程的数值算法及其应用.本文的结构安排如下:第一部分我们简要介绍了与随机动力系统相关的非局部方程数值算法及其应用.第二部分我们考虑了带波动算子的非线性薛定谔方程的若干个守恒型差分方法,证明了数值解的有界性和数值方法在无穷范数下的收敛性和稳定性,并采用Richardson外推方法提高数值方法在时间方向上的收敛精度.最后,若干个数值实验验证了该数值方法的有效性.第三部分我们考虑了二维Riesz分数阶非线性反应扩散方程的数值方法.文中分别采用拟紧格式和Crank-Nicolson格式离散Riesz分数阶导数和时间导数,再通过引进小的扰动项构造了交替方向隐(ADI)格式,证明了该格式是可解的和条件收敛.另外,将文中的方法与外推的Crank-Nicolson紧ADI方法,Crank-Nicolson ADI方法进行了比较,数值结果说明文中提出的方法是具有可比性的.最后,将该数值方法应用到耦合的分数阶FitzHugh-Nagume模型当中.第四部分我们应用非局部偏微分方程去刻画基因调控系统的动力学行为.我们考虑在基因调控模型的合成反应速率项引入稳定的Lévy噪声,通过最大可能轨道分析了基因调控系统中转录因子活化子(TF-A)浓度的演化路径,其中最大可能轨道是通过数值计算解轨道所对应的非局部Fokker-Planck方程的最大值得到.为了了解转录发生的过程以及转录可能发生的时间,我们考虑了不同噪声参数和噪声强度下TF-A浓度从低浓度到高浓度(转录可能发生的区域)的最大可能轨道,并发现了一些奇特或反直觉的现象,而这些发现为进一步的实验研究提供了有用的信息.第五部分对本文的主要内容进行了总结,并在本文的基础上提出了后续的研究课题和内容.
【学位授予单位】：华中科技大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175.2;O19

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本文编号：2664650