次线性期望和凸期望下的一些极限结果

发布时间：2020-05-20 16:20

【摘要】：大数定律、中心极限定理和重对数律等极限定理是概率论的重要内容,经过长期的研究和发展,形成了比较完善的理论体系,并且在实际生活中得到广泛应用.大数定律刻画了大量重复试验结果的稳定性,中心极限定理则刻画了随机变量序列的极限分布,而重对数律刻画了一个随机游走的振幅.在经典线性期望的框架下,以上这三种极限定理被很多学者加以研究,并形成了相当丰富的经典结果和证明方法.然而这些极限定理通常是在经典线性期望和可加概率的情形下来进行考虑的,而在实际生活中,这种期望和概率的可加性假定往往是不切实际的,因为很多不确定现象不能用经典线性期望和可加概率来进行描述.与经典线性期望或可加概率相比,非线性期望或非可加概率已被如统计学、金融学、经济学等很多领域进行研究.以股票为例,如何度量股票价格波动所带来的投资风险是我们较为关心的一个问题,而股票价格波动引起的风险一般无法用线性期望来进行描述,很多学者寻求用非线性期望理论来进行刻画这一波动带来的风险,比起经典线性期望更加准确.自Artzneret al.(1999)研究了一致风险度量,人们对次线性期望(或者更一般的凸期望)的研究越来越感兴趣.在Peng(2009)中,我们可以知道一个次线性期望可以表示成一族线性期望{Eθ:θ∈Θ 的上确界,即E[·]=supEθ[·].在很多情形下,以上这族线性期望θ∈e{Eθ:θ ∈ Θ}可以用来描述取自概率族{Pθ:θ ∈Θ)中不同概率下的不确定模型,,次线性期望的概念提供了一个很好度量风险损失的方法.事实上,非线性期望理论为解决实际问题提供了许多灵活便利的方法.为描述金融现象中的不确定性,Peng(2009,2010)给出了更一般的次线性期望和凸期望的定义,他进一步建立了次线性期望下新的大数定律和中心极限定理.随后很多学者就次线性期望和凸期望下的极限定理,如大数定律、中心极限定理、重对数律等做了研究和推广.例如,Hu和Chen(2016)得到了次线性期望下关于独立不同分布随机变量的大数定律;Li和Shi(2010)得到了次线性期望下关于独立不同分布随机变量的中心极限定理;胡明尚(2010)建立了凸期望下关于独立同分布随机变量的中心极限定理;Chen和Hu(2014)建立了次线性期望下关于独立同分布的有界随机变量的重对数律.在本文中,我们就次线性期望和凸期望下的一些极限定理做进一步的推广.全文共分为四章:第一章,我们主要介绍了论文的研究背景和论文证明过程中需要用到的一些基本概念和引理;第二章,我们证明了次线性期望下随机变量满足独立不同分布且一阶矩存在有限条件下的大数定律和随机变量满足独立不同分布且二阶矩存在有限条件下的中心极限定理;第三章,我们证明了次线性期望下随机变量满足负相依不同分布且各阶矩存在有限条件下的重对数律;第四章,我们证明了凸期望下随机变量满足独立不同分布且二阶矩存在有限条件下的中心极限定理和随机变量满足独立不同分布且一阶矩存在有限条件下的大数定律.
【学位授予单位】：曲阜师范大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O211.4

【参考文献】