Riesz乘积测度的谱性与Beurling维数

发布时间：2020-05-21 07:42

【摘要】：设μ为Rd上具有紧支撑的Borel概率测度,我们很自然要问这样一个问题:是否存在Rd上一个可数子集Λ使得指数函数族E:={e2πiλ,x:λ ∈ 为L2(μ)的框架/Riesz基/标准正交基?如果存在,则称μ为框架谱测度/Riesz谱测度/正交谱测度,Λ为μ的框架谱/Riesz谱/正交谱.框架理论与Fourier分析、小波分析、调和与非调和分析以及压缩感知等都有重要联系.从1967年以来,人们一直在研究Lebesgue限制在怎样的集合上为一个框架谱/Riesz谱/正交谱,其中最为主要的猜想为1976年Fuglede提出的谱集猜想.而Beurling密度从一开始就起到了关键的作用.由整扩张矩阵A ∈Md(Z)、有限整数集D={d0= 0,d1,…,dq-1}(?)Zd以及概率向量族{Pk={pk,0,pk,1,...,pk,q-1}}k=1∞生成的概率测度μ A,D1,{Pk},=δA-1D,P1*δA-2D,P2*δA-3D,P3...称为Riesz乘积测度(测度无穷卷积收敛是指测度的弱收敛),很显然自相似测度和自仿测度都是Riesz乘积测度.本文主要研究此种Riesz乘积测度的谱性,以及自相似测度谱的Beurling维数.本文主要分为五章。第一章,主要介绍研究背景和研究动机.由于Riesz乘积测度存在性与测度的弱收敛有关,所以第二章主要介绍测度序列收敛性的一些基础知识.第三章主要介绍一些与后续章节相关的预备知识.第四章,我们主要研究一般的Riesz乘积测度μA,D,{Pk}与自仿测度μA,D之间的谱性关系.关于Riesz乘积测度μA,D,{Pk}的谱性至今没有人研究过.我们主要有这样的结果:在条件inPk0下,测度μA,D,{Pk}为框架/Riesz谱测度当且仅当μA,D为框架/Riesz谱测度且{Pk}满足等价乘积条件.在特殊情况下,前提假设条件inf k≥1 Pk-0可以去掉.第五章,我们主要研究自相似测度框架谱、Bessel谱(即所对应的指数函数族为L2(μ)的Bessel序列)的Beurling维数.关于Bessel谱A给出其Beurling维数的上界.对于一些满足特定条件的框架谱A给出其Beurling维数与自相似集(自相似测度的支撑)的Hausdorff维数相等的充要条件.
【学位授予单位】：华中师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O174.12

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本文编号：2673938