保能量方法在几类偏微分方程中的数值研究

发布时间：2020-05-23 05:16

【摘要】：在数学、物理中有一大类偏微分方程,如Ito型耦合KdV方程,非线性四阶薛定谔方程和三耦合薛定谔方程组等,这些方程具有能量守恒特性.近年来,微分方程保能量守恒特性的数值方法在保结构算法研究领域内备受关注,在长时间模拟偏微分方程的演化行为上,与传统方法相比较,平均向量场方法体现出明显的优越性.其中二阶平均向量场方法,就能很好的保持微分方程固有的能量守恒特性.基于修正向量场的思想,G.R.W.Quispel等人提出了高阶平均向量场方法,这个方法在国内还少有人研究.因此,我们用这个方法来研究微分方程的保能量特性具有进步性.在保结构方法中,离散线积分方法也开始渐受关注,特别在求解系统是无限维哈密尔顿系统时,用普通方法计算所得的格式在保能量方面效果很不理想.使用离散线积分方法,不仅可以直接构造系统能量守恒格式,而且在保持方程的能量守恒特性方面非常精确.在本文,主要是对高阶平均向量场方法、离散线积分方法在能量守恒型偏微分方程中的数值应用进行研究.第一章,利用高阶平均向量场方法和拟谱方法得到Ito型耦合KdV方程的高阶保能量格式,并用此格式数值模拟力程孤立波的在不同参数下的演化过程.最终模拟数值显示新的高阶保能量格式能很好的模拟Ito型耦合KdV方程孤立波的行为,且对方程的能量守恒性质能够精确的保持.第二章,通过构造非线性四阶薛定谔方程的高阶保能量格式,并用此格式来数值模拟方程孤立波在不同初始条件下的演化过程.模拟结果显示,整个模拟演化过程特别稳定,且还保持了方程的离散能量守恒特性.第三章,因三耦合薛定谔方程组具有能量守恒特性,首先将三耦合薛定谔方程组写为一个经典的哈密尔顿系统,然后利用Boole离散线积分方法进行数值求解,得到三耦合薛定谔方程的一个新格式,最后利用新格式数值模拟方程组孤立波的演化过程.模拟数值显示,离散线积分方法可以保持该方程能量守恒.
【图文】：

逦保能量方法在几类偏微分方程中的数值研究逦逡逑＾［０，２］时的相对能量误差变化，误差较小，，且达到了机械精度，保持了方程的能量守逡逑恒．逡逑ｔ－Ｏ．Ｓ逦；－０．５逡逑１．２｜逦逦逦逦逦逦逦—１逦邋１．４ｉ逦：逦：逦逦逦逦逦逦逦逡逑

逦（１．邋２４）逡逑取参数ａ邋＝邋－６，邋０＝－２，邋／邋＝—１，．ｘ：ｅ「０，２；ｒｌ．时间步长邋ｒ邋＝邋０．０００１，Ｌ邋＝邋２；ｒ，Ｗ邋＝邋１６０？图邋１．３逡逑表示时间／邋＝邋０．５，０．８时的对应数值解，从图１．３中可以看出，高阶保能量格式在此初始条逡逑件下同样可以很好地模拟丨ｔｏ型耦合ＫｄＶ方程的孤立波演化过程．图１．４表示孤立波在逡逑ｆｅ［０，ｌ］的相对能量误差变化，很好的保持了方程的能量守恒性质．逡逑Ｔ－０．３逡逑１－２．逦１邋４｜逦逦逦逦＇逡逑１邋？逦．逦３＊９邋．．逦Ｉ＼逦－Ｉ逡逑／邋＼逦，逦Ｉ逡逑Ｊ邋＼逦：．，逦１邋ｊ逡逑？．邋＼邋／邋，逡逑．０．２逦＼逦／．逦？邋１５－逡逑０邋■逦＼逦逦逦．逦１邋．逦Ｉ邋＼邋ｉ逡逑＼逦／逦Ｖ逡逑－０２－逦＼逦／逦0邋５邋－逡逑＼逦／逦逦邋Ｉ逡逑＊逦、＼逦／逦Ｘ逦Ｉ逡逑＊逦－０５邋、、？逦一：逡逑＂０－８０逦１逦２逦３逦４逦５逦６逦７逦ａ逦＿，０逦Ｔ逦２逦３逦４逦５逦６逦７逦８逡逑Ｘ逦Ｘ逡逑７逡逑
【学位授予单位】：海南大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O241.82

【参考文献】

相关期刊论文 前4条

1 蒋朝龙;黄荣芳;孙建强;;耦合非线性薛定谔方程的平均离散梯度法[J];工程数学学报;2014年05期

2 黄浪扬;;非线性四阶Schrdinger方程的半显式多辛拟谱格式[J];华侨大学学报(自然科学版);2013年06期

3 蔡加祥;王雨顺;;A conservative Fourier pseudospectral algorithm for a coupled nonlinear Schrdinger system[J];Chinese Physics B;2013年06期

4 钱旭;宋松和;高二;李伟斌;;Explicit multi-symplectic method for the Zakharov-Kuznetsov equation[J];Chinese Physics B;2012年07期

本文编号：2677201